1、考点圆的方程1(2015新课标全国，7)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B. C. D.解析由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x1，由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y，联立，解得ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故选B.答案B2(2015北京，2)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析圆的半径r，圆的方程为(x1)2(y1)22.答案D3(2014浙江，5)已知圆x2y22x2y
2、a0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A2 B4 C6 D8解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1，1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，故r2d24，即2a24，所以a4，故选B.答案B4(2014北京，7)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4解析若APB90，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2y2m2.由题意知圆C：(x3)2(y4)21与圆O：x2y2m2有公共点，所以|m1|OC|m1，易知|OC|5，所以4m6，故m
3、的最大值为6.故选B.答案B5(2014湖南，6)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19 C9 D11解析圆C1的圆心C1(0，0)，半径r11，圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆心C2(3，4)，半径r2.从而|C1C2|5.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故选C.答案C6(2014安徽，6)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.解析过P点作圆的切线PA、PB，连接OP，如图所示显然，直线PA的倾斜角为0，又OP2，PA，OA1，因此OPA，由对称性知，
4、直线PB的倾斜角为.若直线l与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是.故选D.答案D7(2014新课标全国，12)设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是()A1，1 B.C， D.解析过M作圆O的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，若在圆O上存在点N，使OMN45，则OMBOMN45，所以AMB90，所以1x01，故选A.答案A8(2013安徽，6)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1 B2 C4 D4解析由圆的一般方程化为圆的标准方程：(x1)2(y2)25，可知圆心坐标为(1，2)，半径为，圆心到直线的距离为1，由勾股
5、定理可得弦长一半为2.故弦长为4.答案C9(2013广东，7)垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy0解析由于所求切线垂直于直线yx1，可设所求切线方程为xym0.由圆心到切线的距离等于半径得1，解得m.又由于与圆相切于第一象限，则m.答案A10(2012广东，8)在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长等于()A3 B2 C. D1解析如图所示，设AB的中点为D，则ODAB，垂足为D，连OA.由点到直线的距离得|OD|1，|AD|2|OA|2|OD|2413，|AD|，|AB|2|AD
6、|2.答案B11(2015湖南，13)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r 解析如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|1，r2|OD|2.答案212(2015江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 解析直线mxy2m10恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y2213(2015湖北，16)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半
7、轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为 (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 解析(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2122，解得r.所以圆C的方程为(x1)2(y)22.(2)法一令x0，得y1，所以点B(0, 1)又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC1，所以过点B的切线方程为y(1)x0，即yx(1)令y0，得切线在x轴上的截距为1.法二令x0，得y1，所以点B(0，1)又点C(1，)，设过点B的切线方程为y(1)kx，即kxy(1)0.由题意，圆心C(1，)到直线kxy(1)0的距离dr，解得k1.故切线方程为xy(1)0.
8、令y0，得切线在x轴上的截距为1.答案(1)(x1)2(y)22(2)114(2014湖北，17)已知圆O：x2y21和点A(2，0)，若定点B(b，0)(b2)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|MA|，则(1)b ；(2) 解析设M(x，y)，则x2y21，y21x2，2.为常数，b2b10，解得b或b2(舍去)2，解得或(舍去)答案(1)(2)15(2014重庆，14)已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为 解析圆C：x2y22x4y40的标准方程为(x1)2(y2)29，所以圆心为C(1，2)，半径为3.因为ACBC，所以
9、圆心C到直线xya0的距离为，即，所以a0或6.答案0或616(2013湖北，14)已知圆O：x2y25，直线l：xcos ysin 1(1)设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k 解析由题意圆心到该直线的距离为1，而圆半径为2，故圆上有4个点到该直线的距离为1.答案417(2013浙江，13)直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于 解析圆的圆心为(3，4)，半径是5，圆心到直线的距离d，可知弦长l24.答案418(2012天津，12)设m，nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2y24相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最
10、小值为 解析l与圆相交所得弦的长为2，m2n22|mn|，|mn|.l与x轴交点A，与y轴交点B，SAOB|63.答案319(2015新课标全国，20)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2 (1k2)x1x2k(x1x2)1
11、8.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.20(2015广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1：x2y26x50化为(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l，设直线l的方程为ymx，易知直线l的斜率存在，所以kC1Mm1，y0mx0，所以
12、1，所以x3x0y0，即y，因为动直线l与圆C1相交，所以2，所以m2，所以ym2xx，所以3x0x或x00，又因为0x03，所以x03.所以M(x0，y0)满足y，即M的轨迹C的方程为y2.(3)由题意知直线L表示过定点T(4，0)，斜率为k的直线结合图形，y2表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧，设P，则kPT，而当直线L与轨迹C相切时，解得k在这里暂取k，因为，所以kPTk.结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当k0或k时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知k或k，综上所述：当k或k时，直线L：yk(x
13、4)与曲线C只有一交点21(2014新课标全国，20)已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平
14、分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.22(2013新课标全国，20)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2.在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.