1、导数与函数的零点问题A组基础对点练1(2021江西临川一中模拟)已知函数f(x)4ln xxa在区间(0，2)上至少有一个零点，则实数a的取值范围是()A(0，2) B2，4ln 32)C D2，)解析：由函数f(x)在区间(0，2)上至少有一个零点，可得a4ln xx在x(0，2)上有解设g(x)4ln xx，则g(x)1.当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减；当1x0，g(x)单调递增因此可得g(1)2为极小值，且为最小值，且x0时，g(x)，所以a2.答案：D2(2021四川乐山模拟)已知函数ya2ln x的图象上存在点P，函数yx22的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a
2、的取值范围是()A3，e2 e2，)C D解析：函数yx22的图象关于原点对称的图象对应的解析式是yx22.由题意可知函数ya2ln x的图象与函数yx22的图象有交点，即方程a2ln xx22有解，所以ax222ln x有解令f(x)x222ln x，x，则f(x).当x时，f(x)0，f(x)单调递增，故当x1时，f(x)取得最小值3，而f4，f(e)e2，所以当xe时，f(x)取得最大值e2，故a3，e2.答案：A3(2020江西宜春期末)已知奇函数f(x)是R上的单调函数若函数yf(x)f(ex)恰有两个零点，则实数的取值范围是()A BC D解析：奇函数f(x)是R上的单调函数，且函
3、数yf(x)f(ex)恰有两个零点，f(x)f(ex)0恰有两个解，即f(x)f(ex)f(ex)，即xex，即方程有两个不同的实数解令g(x)，则g(x).当x(，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0时，f(x)x2x ln x，则关于x的方程f(x)a满足()A对任意aR，恰有一解B对任意aR，恰有两个不同解C存在aR，有三个不同解D存在aR，无解解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数可知f(0)0.当x0时，f(x)x2x ln x，则当x0时，f(x)x1ln x令g(x)x1ln x，则g(x)1，可知当x(0，1)时，g(x)0，从而f(x)f(1)0
4、，故x0时，f(x)x2x ln x是增函数根据函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，令g(x)0，得x，则函数yg(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减，在区间(，)上单调递增，因此函数yg(x)在x处取得极大值，在x处取得极小值由题意知g()0，g().答案：D6(2021重庆一中期中测试)若函数f(x)axln x有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A BC D解析：法一：函数f(x)axln x，其中x0.令f(x)0得axln x当直线yax和yln x的图象相切时，作图如图所示设切点为P(x0，y0)，则由y得曲线yln x在点P的切线方程为yy0(xx0
5、).又因为该直线过原点(0，0)，所以y01，所以ln x01，解得x0e，所以切线斜率为，即当a时，直线yax与曲线yln x相切由图可知，实数a的取值范围是.法二：由f(x)axln x0得a.设g(x)(x0)，则g(x).由g(x)0得0xe，此时函数g(x)单调递增；由g(x)e，此时函数g(x)单调递减即当xe时，函数g(x)取得极大值g(e).当x1时，0g(x)，当0x1时，g(x)0，则函数g(x)的大致图象如图所示由图象可知，当a时，axln x0有两个不同的解，即函数f(x)有两个不同的零点答案：C7若函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围解析：
6、令f(x)axx20，可得axx2.当x0时，函数yax与yx2的图象有一个交点；当x0时，两边同时取自然对数得x ln a2ln x，即ln a，由题意得函数yln a与g(x)的图象在(0，)上有两个不同的交点，g(x)，令g(x)0，解得0xe，则g(x)在(0，e)上单调递增，令g(x)0，解得xe，则g(x)在(e，)上单调递减，则g(x)maxg(e)，ln a，1ae时有两个交点；又x0时，必有一个交点，1ae时，函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点8已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求
7、函数g(x)4ln x的零点个数解析：(1)f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR，设f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0，f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)由(1)知g(x)4ln xx4ln x2，g(x)的定义域为(0，)，g(x)1，令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40，当x3时，g(e5)e52022512290.又g(x)在(3，)上单调递增，因
8、而g(x)在(3，)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点B组素养提升练1已知函数f(x)ax2x(1ln x)(aR).(1)当a时，判断f(x)的增减性并予以证明(2)若f(x)有两个极值点求实数a的取值范围；证明：1f(x)极大值.(注：其中e为自然对数的底数)解析：因为f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2ax1ln xx2axln x.(1)当a时，f(x)在(0，)上单调递增证明如下：当a时，f(x)xln x，又曲线yln x过原点的切线是yx，显然当x0时，xx，故f(x)xln xx0，所以当a时，f(x)在(0，)上单调递增(2)f(x)有两个极值点f(x)2axln x
9、有两个变号正零点，即2axln x有两个不同的正实数根直线y2ax与曲线g(x)ln x有两个不同的交点，因为曲线g(x)ln x过原点的切线为yx，切点为M(e，1)，所以直线y2ax与曲线g(x)ln x有两个不同的交点时，02a，故a.证明：若f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1x2，由知当x(0，x1) 时，f(x)0；当x(x1，x2)时，f(x)0；当x(x2，)时，f(x)0，所以f(x)极大值f(x1)axx1(1ln x1).又f(x1)2ax1ln x10，解得a，故f(x)极大值f(x1)x1x1ln x1，由知x1(1，e)，则f(x1)1(ln x11)(1ln
10、x1)0，故f(x1)x1x1ln x1在 (1，e)上单调递增，所以1f(1)f(x1)f(e)，即1f(x)极大值.2(2020德州中学模拟)已知函数f(x)mx2xln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(2)当0m时，若曲线C：yf(x)在点x1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围解析：(1)f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故需且只需0，即18m0，解得m，故0m.综上所述，实数m的取值范围为.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为ym12m(x1
11、)，即y2mxm1.从而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解设g(x)mx2xln x(2mxm1)，则g(x)在(0，)上有且只有一个零点又g(1)0，故函数g(x)有零点x1.则g(x)2mx12m.当m时，g(x)0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，)上单调递增函数g(x)有且只有一个零点x1，满足题意当0m1，由g(x)0，得0x；由g(x)0，得1x.故当x在(0，)上变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知g0，故在上，函数g(x)又有一个零点，不满足题意综上所述，m.3(2021黑龙江大庆模拟
12、)已知函数f(x)x22a ln x(aR).(1)当a时，点M在函数yf(x)的图象上运动，直线yx2与函数yf(x)的图象不相交，求点M到直线yx2距离的最小值；(2)讨论函数f(x)零点的个数，并说明理由解析：(1)函数f(x)x22a ln x的定义域为(0，).当a时，f(x)x2ln x，则f(x)2x.由题知，函数yf(x)的图象在点M处的切线与直线yx2平行时，点M到直线yx2的距离最小令f(x)1，解得x1或x(舍).又f(1)1，则点M为(1，1).点M(1，1)到直线xy20的距离为，故点M到直线yx2距离的最小值为.(2)由f(1)1知，1不是函数f(x)的零点由f(x
13、)0，得2a(x0且x1).设g(x)(x0且x1)，则问题转化为讨论函数yg(x)的图象和直线y2a的图象交点的个数g(x)(x0且x1)，令g(x)0，解得x.当0x1或1x时，g(x)0，当x时，g(x)0，故g(x)在(0，1)，(1，)上单调递减，在(，)上单调递增，故g(x)极小值g()2e.又0x1时，g(x)0，x1时，g(x)0，故当2a0或2a2e，即a2e，即ae时，有2个交点；当02a2e，即0ae时，没有交点故当ae时，函数f(x)有2个零点；当0a0，f(x)2ax2a.当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，解得0x，令f(x)，故f(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减x(0，2时，g(x)的值域为.方程f(x)g(x0)(x0(0，2)在(0，e上有两个不同的实数根，a0，且满足由0e，得a2，得ln (a)10，ln (a)10.令h(x)ln (x)1(x2，a(e，0).综上，实数a的取值范围为.