1、数 学 大二轮复习第一部分专题强化突破专题三 三角函数及解三角形知识网络构建第一讲 三角函数的图象与性质1 高考考点聚焦 2 核心知识整合 3 高考真题体验 4 命题热点突破 5 课后强化训练 高考考点聚焦高考考点考点解读三角函数的定义域、值域、最值1.求三角函数的值域或最值2根据值域或最值求参数三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性2根据单调性、奇偶性、周期性求参数三角函数的图象及应用1.考查三角函数的图象变换2根据图象求解析式或参数 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或
2、最值(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等(3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图 预测2018年命题热点为：(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间(3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式核心知识整合 1三角函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|x2k，kZ值域1,11,1R函数ysin xycos xytan x奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22单调性在_上递增在_上递减在_ _上递增在_ 上递减在_上递增22k，
3、22k(kZ)22k，32 2k(k Z)2k，2k(kZ)2k，2k(kZ)(2k，2k)(kZ)函数ysin xycos xytan x奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22最值当 x22k，kZ 时，y 取得最大值 1当 x22k，kZ时，y 取得最小值1当 x2k，kZ 时，y取得最大值 1当 x2k，kZ时，y 取得最小值1无最值对称性对称中心：_对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_(k，0)(kZ)x2k(kZ)(2k，0)(kZ)xk(kZ)(k2，0)(kZ)2函数 yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设 zx，令 z0、2、32、2，求出 x 的值与相应的 y
4、的值，描点连线可得(2)图象变换ysinx 向左0或向右0，0)ysinx横坐标变为原来的 1纵坐标不变ysinx向左0或向右0，0)3三角函数的奇偶性(1)函数 yAsin(x)是奇函数_(kZ)，是偶函数_(kZ)；(2)函数 yAcos(x)是奇函数_(kZ)，是偶函数_(kZ)；(3)函数 yAtan(x)是奇函数_(kZ)k k2 k2 k k 4三角函数的对称性(1)函数 yAsin(x)的图象的对称轴由 x_(kZ)解得，对称中心的横坐标由 x_(kZ)解得；(2)函数 yAcos(x)的图象的对称轴由 x_(kZ)解得，对称中心的横坐标由 x_(kZ)解得；(3)函数 yAta
5、n(x)的图象的对称中心由 xk2(kZ)解得k2 k k k2 1忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域 2重要图象变换顺序 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 3忽视A，的符号 在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，若0，|.若 f(58)2，f(118)0，且 f(x)的最小正周期大于 2，则导学号 52134365()A23，12B23，1112C13，1124D13，724A 解析 f(58)2，f
6、(118)0，且 f(x)的最小正周期大于 2，f(x)的最小正周期为 4(118 58)3，2323，f(x)2sin(23x)2sin(2358)2，得 2k 12，kZ又|0，f()sin 21cos 0，排除选项 A，D由 1cos x0，得 x2k(kZ)，故函数 f(x)的定义域关于原点对称又f(x)sin2x1cosx sin 2x1cos xf(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项 B故选 C(理)(2017全国卷，9)已知曲线 C1：ycosx，C2：ysin(2x23)，则下面结论正确的是导学号 52134368()A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2
7、倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2D C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2解析 因为 ysin(2x23)cos(2x23 2)cos(2x6)，所以曲线 C1：ycosx 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线 ycos2x，再把得到的曲线 ycos2x
8、 向左平移 12个单位长度，得到曲线 ycos2(x 12)cos(2x6)故选 D5(2017全国卷，13)函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为_.导学号 521343695 解析 f(x)2cos xsin x 5(2 55 cos x 55 sin x)，设 sin 2 55，cos 55，则 f(x)5sin(x)，函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为 56(2016全国卷，14)数 ysin x 3cos x 的图象可由函数 ysin x 3cos x 的图象至少向右平移_个单位长度得到.导学号 52134370解析 函数 ysin x 3cos x2sinx
9、3，根据左加右减原则可得只需将 ysin x 3cos x2sin(x3)向右平移23 个单位即可23 命题热点突破(1)函数 ylg(2sin x1)12cos x的定义域是_.导学号 52134371命题方向1 三角函数的定义域、值域、最值2k3，2k56)(kZ)解析(1)由题意，得2sin x10，12cos x0，即sin x12，cos x12，首先作出 sin x12与 cos x12表示的角的终边(如图所示)由图可知劣弧ACB 和优弧CBD 的公共部分对应角的范围是2k3，2k56)(kZ)，所以函数的定义域为2k3，2k56)(kZ)(2)(2017包头二模)设 aR，f(x
10、)cos x(asin xcos x)cos2(2x)满足 f(3)f(0)，则函数 f(x)在4，1124 上的最大值和最小值分别为_，_.导学号 521343722 解析 f(x)asin xcos xcos2xsin2xa2sin 2xcos 2x由 f(3)f(0)，得(32)a2121，解得 a2 3因此 f(x)3sin 2xcos 2x2sin(2x6)，2由 x4，1124，可得 2x63，34 当 x4，3时，2x63，2，f(x)为增函数；当 x3，1124 时，2x62，34，f(x)为减函数，所以 f(x)在4，1124 上的最大值为 f(3)2又 f(4)3，f(11
11、24)2，故 f(x)在4，1124 上的最小值为 f(1124)2 规律总结 1三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2三角函数值域(最值)的三种求法(1)直接法：利用sin x，cos x的值域(2)化一法：化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题已知函数 f(x)12sin(2x3)，x4，2若不等式 f(x)m2 在 x4，2上恒成立，则实数 m 的取值范围为_.导学号 52134
12、373(1，)解析 因为 x4，2，所以 2x36，23，即 12sin(2x3)2,3，所以 f(x)max3，不等式 f(x)mf(x)max2，即 m 的取值范围是(1，)(2017浙江卷，18)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosx(xR).导学号 52134374(1)求 f(23)的值；(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间命题方向2 三角函数的性质解析(1)由 sin23 32，cos23 12，得 f(23)(32)2(12)22 3 32(12)，所以 f(23)2(2)由 cos2xcos2xsin2x 与 sin2x2sinxcosx 得 f(
13、x)cos2x 3sin2x2sin(2x6)，所以 f(x)的最小正周期是，由正弦函数的性质得22k2x632 2k，kZ，解得6kx23 k，kZ所以 f(x)的单调递增区间是6k，23 k(kZ)规律总结 1求解函数yAsin(x)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)Asin(x)的形式(2)整体意识：类比ysin x的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整体代入求解 令xk(kZ)，可求得对称轴方程 令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标 将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(3)讨论意识：
14、当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0)的单调区间时，令xz，则yAsin z(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得 图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间(2)判断对称中心与对称轴：利用函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断(3)三角函数周期的求法利用周期定义利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|利用图象1已知 0，在函数 y2sin x 与 y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 _.导学号 5
15、2134375解析 由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2(x2x1)2(y2y1)2，其中|y2y1|2(2)2 2，|x2x1|为函数 y2sin x2cos x2 2sin(x4)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2 3)2(22)2(2 2)2，22 2设函数 f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若 f(x)在区间6，2上具有单调性，且 f(2)f(23)f(6)，则 f(x)的最小正周期为_.导学号 52134376 解析 由 f(x)在区间6，2上具有
16、单调性，且 f(2)f(6)知，f(x)有对称中心(3，0)，由 f(2)f(23)知 f(x)有对称轴 x12(223)712.记 f(x)的最小正周期为T，则12T26，即 T23.故 71234T4，解得 T(1)(2017青岛模拟)将函数 y 3cos xsin x(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是导学号 52134377()A6 B 12 C3 D56命题方向3 三角函数的图象及应用A 解析 设 f(x)3cos xsin x2(32 cos x12sin x)2sin(3x)，向左平移 m 个单位长度得g(x)2sin(
17、xm3)g(x)的图象关于 y 轴对称，g(x)为偶函数，3m2k(kZ)，m6k(kZ)，又 m0，m 的最小值为6(2)(2017衡水中学四调)已知 A，B，C，D 是函数 ysin(x)(0,02)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(6，0)，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，CD 在 x 轴上的投影为 12，则导学号 52134378()A2，3B2，6C12，3D12，6A 解析 由题意可知T46 124，T，2 2又 sin2(6)0,02，3.故选 A规律总结1函数 yAsin(x)的解析式的确定(1)A
18、由最值确定，A最大值最小值2；(2)由周期确定；(3)由图象上的特殊点确定提醒：根据“五点法”中的零点求 时，一般先根据图象的升降分清零点的类型2在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向1(2017烟台模拟)将 f(x)sin 2x 的图象右移(00，0)的部分图象如图所示，则 f(1)f(2)f(3)f(2 017)的值为导学号 52134380()A0 B3 2C6 2D 2D 解析 由题图可得，A2，T8，28，4，f(x)2sin4xf(1)2，f(2)2，f(3)2，f(4)0，f(5)2，f(6)2，f(7)2，f(8)0，而 2 01782521，f(1)f(2)f(2 017)f(1)2课后强化训练