1、第八章 立体几何 第六节 空间向量及运算 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识梳 理 诊 断 1空间向量的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使_.(2)共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_.abpxayb(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量
2、 p，存在有序实数组x，y，z，使得_.其中a，b，c叫做空间的一个_推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x、y、z，使.pxaybzc基底OP xOA yOB zOC2数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积ab|a|b|cosa，bab_(a，b 为非零向量)|a|2_，|a|x2y2z2.(2)空间向量的坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则|a|a21a22a23.ab_ab0a2(a1b1，a2b2，a3b3)ab_a_ab_.设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB_cosa，b.(a1b1，
3、a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3(x2x1，y2y1，z2z1)a1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b231判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面()(2)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有ABBC CD DA 0.()(3)对于向量 a，b，若 ab0，则一定有 a0 或 b0.()(4)若 ab0，则a，b是钝角()(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA 上，且OM2MA，点 N 为
4、BC 的中点，设OA a，OB b，OC c，则MN 等于()A.12a12b23cB23a12b12cC.12a23b12cD.23a23b12c解析 MN ON OM12(OB OC)23OA 12b12c23a.答案 B3与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()A.13，1，1B(1，3,2)C.12，32，1D(2，3，2 2)解析 可知12a12，32，1，选 C.答案 C4若向量 a(2,2,0)，b(1,3，z)，且a，b3，则实数 z()A.22B5C 22D5解析 cosa，bcos3 ab|a|b|21230z2222021232z212，z 22.答案 C5有下
5、列命题：若 pxayb，则 p 与 a，b 共面；若 p 与 a，b 共面，则 pxayb；若MP xMA yMB，则 P，M，A，B 共面；若 P，M，A，B 共面，则MP xMA yMB.其中真命题的个数是()A1B2C3D4解析 正确，中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立正确中若 M，A，B 共线，点 P不在此直线上，则MP xMA yMB 不正确答案 B6已知 a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_解析 ba(1t,2t1,0)，|ba|1t22t125t15295，当 t15时，|ba|取得最小值为3 55.答案 3 55考 点题
6、型 突 破 考点一 空间向量的线性运算自练型 (1)已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是边 OA、CB 的中点，点 G 在线段 MN 上，且使MG2GN，则用向量OA，OB，OC 表示向量OG 正确的是()A.OG OA 23OB 23OCB.OG 12OA 23OB 23OCC.OG 16OA 13OB 13OCD.OG 16OA 13OB 23OC(2)如 图 所 示，在 平 行 六 面 体ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与B1D1 的交点若ABa，AD b，AA1c，则BM 可用 a，b，c 表示为_解析(1)OG OM MG 12OA 23M
7、N12OA 23(MO ON)12OA 2312OA 12OC 12OB16OA 13OB 13OC.(2)由图可知，BM BB1 B1M BB1 12B1D1 BB1 12(A1D1 A1B1)c12(ba)12a12bc.答案(1)C(2)12a12bc(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则考点
8、二 共线、共面向量定理的应用 互动型 如右图，已知平行六面体 ABCDABCD，E、F、G、H 分别是棱 AD、DC、CC 和 AB 的中点，求证：E、F、G、H 四点共面证明 取ED a、EFb、EH c，则HG HB BC CG DF 2ED 12AAba2a12(AH HE EA)ba12(baca)32b12c，HG 与 b、c 共面，即 E、F、G、H 四点共面证三点共线、四点共面的向量方法(1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法PAPB(R)对空间任一点 O，OP OA tAB(tR)对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1)(2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法M
9、P xMA yMB.对空间任一点 O，OP OM xMA yMB.对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)PM AB(或PAMB 或PBAM)如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，G 为BC1D 的重心证明：A1、G、C 三点共线证明 CA1 CB BAAA1 CB CD CC1，CG CC1 2312(C1B C1D)13(CB CD CC1)13CA1，CG CA1，且有公共点 C，即 A1、G、C 三点共线考点三 空间向量的数量积共研型 角度 1：数量积的坐标运算(1)已知 a(2,1,3)，b(1,2,1)，若 a(ab)，则实数 的值为()A2
10、B143C.145D2(2)已知 O 为坐标原点，A(1,0,0)，B(0，1,1)，OA OB与OB 的夹角为 120，则 的值为_解析(1)由题意知 a(ab)0，即 a2ab0，所以 1470，解得 2.(2)OA OB(1,0,0)(0，1,1)(1，)，OA OB 与OB 的夹角为 120，(1，)(0，1,1)122 212，2 22122，66.答案(1)D(2)66角度 2：数量积的应用 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点M、N 分别是 AB、CD 的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 所成
11、角的余弦值解(1)证明：设ABp，AC q，AD r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60.MN AN AM 12(AC AD)12AB12(qrp)，MN AB12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos60a2cos60a2)0.MN AB.即 MNAB.同理可证 MNCD.(2)由(1)可知MN 12(qrp)，|MN|214(qrp)214q2r2p22(qrpqrp)14a2a2a22a22 a22 a22142a2a22.|MN|22 a.MN 的长为 22 a.(3)设向量AN 与MC 的夹角为.AN 12(AC AD)12(qr)，MC
12、 AC AM q12p，AN MC 12(qr)q12p12q212qprq12rp12a212a2cos60a2cos6012a2cos6012a2a24 a22 a24 a22.又|AN|MC|32 a，AN MC|AN|MC|cos 32 a 32 acosa22，cos23，向量AN 与MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN与 CM 所成角的余弦值为23.数量积有以下三方面应用(1)求夹角：设向量 a，b 所成的角为，则 cos ab|a|b|，进而可求两异面直线所成的角(2)求长度(距离)：运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题(3)证垂直：利
13、用 abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题1角度 1已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 a 与b 方向相同，则 与 的值分别为_解析 ab，bka，即(6,21,2)k(1,0,2)，6k1，210，22k，解得2，12或3，12.当2，12时，a(3,0,2)，b(6,0,4)2a，a 与 b 方向相同，符合题意；当3，12时，a(2,0,2)，b(6,0，6)3a，a 与 b 方向相反，不符合题意，舍去故 2，12.答案 2 122角度 2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60，则 AC1 的
14、长为_解析 如图，设ABa，AD b，AA1c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以 abbcca12.AC1 ABBC CC1 ABAD AA1 abc，所以|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6.所以|AC1|6.答案 6课 堂归 纳 小 结 方法技巧易错点睛1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积的性质等2利用向量解决立体几何题时，通常把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，恰当地选取基底可使向量运算简捷
15、，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题.1.注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误2注意向量夹角与两直线夹角的区别3注意向量共线与两直线平行与重合的区别.名 师微 课 导 学 课题 42：向量的有关概念不清致误名师导学：在向量的应用中，向量的夹角与异面直线所成的角的含义有所不同，体现在范围上；与非零向量 a 共线的单位向量有两个 已知AB(1,2，2)，CD(0,2,4)，则直线 AB与 CD 所成角的余弦值为_错解 cosAB，CD ABCD|AB|CD|102224122222022242 2 515.直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为2 55.正解 由 c
16、osAB，CD ABCD|AB|CD|1022241222220222422 515，故异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为2 515.答案 2 515两异面直线所成角 的范围是0，2，两向量的夹角 的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角1已知 a(2，2，2)，b(2,0,4)，则 a 与 b 的夹角的余弦值为()A.4 8585B4 8585C 1515D.1515解析 cosa，b ab|a|b|2282 32 5 1515.答案 C2与向量 a(6,7，6)平行的单位向量为_解析 设与 a 平行的单位向量为 b(x，y，z)，则 x2y2z21，且 ba，即 x6，y7，z6，解得 111，则 b611，711，611 或 611，711，611.答案 611，711，611 或 611，711，611请做：课时跟踪训练（四十二）