1、第七章 立体几何授课提示：对应学生用书第305页A组基础保分练1若平面平面，则()A平面内任一条直线与平面平行B平面内任一条直线与平面内任一条直线平行C平面内存在一条直线与平面不平行D平面内一条直线与平面内一条直线有可能相交答案：A2已知平面平面，l，a，b，则“al”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A3如图，平面与平面交于直线l，A，C是平面内不同的两点，B，D是平面内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是()A若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交
2、B若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行C若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线DM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交答案：D4，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是()A若mn，m，n，则B若m，则mC若l，m，m，则mlD若mn，m，n，则解析：由，是两个平面，m，n是两条直线，知在A中，mn，m，n，由面面垂直的判定得，故A正确；在B中，m，由面面平行的性质得m，故B正确；在C中，l，m，m，由线面平行的性质得ml，故C正确；在D中，mn，m，n，得与相交或平行，故D错误答案：D5将下面的平面图形(图中
3、每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()ABCD解析：图翻折后点N与点Q重合，两直线相交；图翻折后两直线平行，因此选C.答案：C6平面外有两条直线a，b，它们在平面内的正投影分别是直线m，n，则下列命题正确的是()A若ab，则mnB若mn，则abC若mn，则abD若m与n相交，则a与b相交或异面解析：对于选项A，当直线a，b相交，且所在平面与平面垂直时，直线m，n重合，故A不正确；对于选项B，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，AD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的正投影分别为AB，AD，分别记为m
4、，n，此时mn，但a与b不垂直，故B不正确；对于选项C，不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线AB1，CD1，其所在直线分别记为a，b，其在平面ABCD上的正投影分别为AB，CD，分别记为m，n，此时mn，但a与b不平行，故C不正确；对于选项D，若m与n相交，则a与b不可能平行，只能是相交或异面，故D正确答案：D7(2019高考北京卷)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.答案：若lm，l，则m(答案不唯一)8设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的
5、两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l与平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；若直线l与内的两条直线垂直，则直线l与垂直真命题的序号有_(写出所有真命题的序号)答案：9(2020高考全国卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1.证明：(1)当ABBC时，EFAC；(2)点C1在平面AEF内证明：(1)如图，连接BD，B1D1.因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD.因为BB1平面ABCD，于是ACBB1.又BDBB1B，所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D，所
6、以EFAC.(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG2GA1，连接GD1，FC1，FG.因为D1EDD1，AGAA1，DD1綊AA1，所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AEGD1.因为B1FBB1，A1GAA1，BB1綊AA1，所以B1FGA1是平行四边形，所以FG綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1FC1.于是AEFC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内B组能力提升练1(2021深圳模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则()A
7、mD1QBm平面B1D1QCmB1QDm平面ABB1A1答案：B2已知三个平面，a，b是异面直线，a与，分别交于A，B，C三点，b与，分别交于D，E，F三点，连接AF交平面于点G，连接CD交平面于点H，则四边形BGEH的形状为()A平行四边形B矩形C菱形D梯形答案：A3(多选题)设，是三个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线已知a，b，c，则()A若ab，则bcB若abA，则bcAC若ab，bc，则，D若，则ab，bc解析：对于A：a，b，ab，a，b，b.又b，c，bc，故A正确；对于B：a，b，abA，A，A，A，Aa，Ab.又c，Ac，bcA，故B正确；对于C：a，b，c，a，c.ab
8、，bc，a与c不平行，即a与c相交于一点，b.b，b，故C正确；对于D：，b，b.a，c，ba，bc，故D正确答案：ABCD4(多选题)(2021北京通州区期末改编)设点B为O上任意一点，AO垂直于O所在的平面，且AOOB，对于O所在的平面内任意两条相互垂直的直线a，b，有下列结论，其中正确的有()A当直线AB与a成60角时，AB与b成30角B当直线AB与a成60角时，AB与b成60角C直线AB与a所成角的最小值为45D直线AB与a所成角的最小值为60解析：如图，AOOB，直线ab，点D，M分别为BC，AC的中点，则ABC为直线AB与a所成的角，MDO为直线AB与b所成的角设AOOB1，若AB
9、C60，则OMODMD，所以MDO60，故B正确，A不正确；因为AB与O所在平面所成的角为45，即直线AB与平面内所有直线所成角中的最小角为45，所以直线a与直线AB所成角的最小值为45，故C正确，D不正确答案：BC5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，D，E分别是BC，AB的中点，点F在棱CC1上，ABBCCACF2，AA13，给出下列说法：设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交；在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥NADF的体积为；设点M在BB1上，当BM1时，平面CAM平面ADF；在棱A1B1上存在点P，使得C1PAF.其中正确说法的序号为_解析：连
10、接CE交AD于点O(图略)，则O为ABC的重心，连接OF，由已知得OFEC1，则EC1l，故错；若存在点N在A1C1上，则VNADFVDAFN，当N与C1重合时，VDAFN取最小值为，故错；当BM1时，可证得CBMFCD，则BCMCDF90，即CMDF.易得AD平面CBB1C1，ADCM，ADDFD，则CM平面ADF，又CM平面AMC，平面CAM平面ADF，故正确；过C1作C1GFA交AA1于点G(图略)，若在A1B1上存在点P，使得C1PAF，则C1PC1G，易得C1PGA1，C1P平面A1C1G，则C1PA1C1，矛盾，故错答案：6.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点
11、，已知BAC，AB2，AC2，PA2.求： (1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解析：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.C组创新应用练1.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面()A不存在B只有1个C恰有4个D有无数多个解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n
12、确定了一个平面.作与平行的平面，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面有无数多个答案：D2异面直线l与m成60角，异面直线l与n成45角，则异面直线m与n所成角的取值范围是()A15，90B60，90C15，90)D15，60解析：如图，在直线l上任取一点O，过O作mm，nn.当m，n，l三线共面时，m与n所成的最小角为15，即异面直线m与n所成角的最小值是15.设n与l固定，把m绕点O旋转，则m与n所成的最大角为90.答案：A3(多选题)(2021山东模拟)如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中的真命题是()A过M点有且只有一条直线与
13、直线AB，B1C1都相交B过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直C过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交D过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行解析：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两条异面直线中的任何一条上如图所示，取C1C的中点N，连接MN，则MNAB，且MNAB，连接BN并延长与B1C1的延长线交于H，延长AM至点G，使AGBH，连接GH，则点A，B，M，N，H共面，直线HM必与直线AB相交于某点O，所以过M点有且只有一条直线HO与直线AB，B1C1都相交，故A正确；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1所在直线，故B正确；过M点有无数个平面与直线AB，B1C1都相交，故C不正确；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行，此平面就是过M点且与正方体的上、下底面都平行的平面，故D正确答案：ABD