1、第四章指数函数与对数函数4.1指数【素养目标】1弄清与的区别，掌握n次方根的运算(数学抽象)2能够利用进行根式与分数指数幂的互化(数学运算)3通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法(逻辑推理)【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质4.1.1n次方根与分数指数幂必备知识探新知基础知识知识点一n次方根定义一般地，如果xna，那么x叫做a的_n次方根_，其中n1，且nN*个数n是奇数a0x0x仅有一个值，记为a
2、0x0n是偶数a0x有两个值，且互为相反数，记为a0x不存在思考1：正数a的n次方根一定有两个吗？提示：不一定当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数知识点二根式(1)定义：式子_叫做根式，这里n叫做_根指数_，a叫做_被开方数_.(2)性质：(n1，且nN*)()na.思考2：()n与中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a0，若n为奇数，aR；式子中，aR.知识点三分数指数幂的意义(a0，m，nN*，且n1)正分数指数幂负分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分
3、数指数幂没有意义思考3：为什么分数指数幂的底数规定a0?提示：(1)当a0，b0，r，sQ)(1).(2).(3).思考4：同底数幂相除aras，同次的指数相除分别等于什么？提示：(1)arasars；(2)()r.基础自测1.等于(B)A2B2C2D8解析2.2下列各式正确的是(A)ABCD解析()3a，()47，()5a，|a|，故选A3可化为(C)A8BCD解析.4若a0，n，m为实数，则下列各式中正确的是(D)ABCD解析由指数幂的运算法则知1ana0ana0n正确，故选D5若有意义，则实数x的取值范围为_(，6_.解析要使式子有意义，应满足6x0，x6.关键能力攻重难题型探究题型一n
4、次方根的概念例1(1)16的平方根为_4_，27的5次方根为_；(2)已知x76，则x_；(3)若有意义，则实数x的取值范围是_2，)_.分析解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求解析(1)(4)216，16的平方根为4.27的5次方根为.(2)x76，x.(3)要使有意义，则需x20, 即x2.因此实数x的取值范围是2，)归纳提升(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定【对点练习】计算下列各值：(1)27的立方根是_3_；(2)256的4次算术方根是_4_；(3
5、)32的5次方根是_2_.解析(1)3327，27的立方根是3.(2)(4)4256，256的4次算术方根为4.(3)2532，32的5次方根为2.题型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)；(2)；(3).分析(1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解解析(1)原式112.(2)原式(2)22.(3)令x，两边立方，得x3223()，即x343x，所以x33x40，所以(x1)(x2x4)0，x2x4(x)20，所以x10，x1，所以1.归纳提升形如的双重根式，当A2B是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开
6、方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式【对点练习】计算下列各式：(1)_；(2)_；(3)_.解析(1)a.(2)3.(3).题型三根式与分数指数幂的互化例3用分数指数幂表示下列各式：(1)a3；(2)(a0，b0)；(3)(a0，b0)分析(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简解析(1)a3a3aa3a.(2)a0，b0，(ab)ab.(3)a0，b0，(ab)ab.归纳提升进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a(a0，m、nN)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利
7、用公式化为根式(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简【对点练习】 (1)5化为根式形式为_；(2)(b0)化为分数指数幂的形式为_；(3)(x0)化为分数指数幂的形式为_.解析(1)原式.(2)原式(b)bb.(3)原式x.题型四利用分数指数幂的运算性质化简求值例4(1)计算：(2)022(2)(0.01)0.5_；(2)化简：.分析将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算解析(1)原式1()()1.(2)原式a(a)(a2)aaaaaaa.归纳提升1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化
8、分母为负指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数2分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数【对点练习】化简：(12).解析原式aaaaaa.课堂检测固双基1化简()2的结果是(C)ABCD解析()23.2已知m，则化简的结果为(C)ABCD解析m，3m20，所以为正，所以选C3若2a3，化简的结果是(C)A52aB2a5C1D1解析由于2a3，所以2a0,3a0，所以原式a23a1，故选C4以下说法正确的是(C)A正数的n次方根是正数B负
9、数的n次方根是负数C0的n次方根是0(其中n1且nN*)D负数没有n次方根解析对于A，正数的偶次方根中有负数，A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，B错误；对于C，当n1且nN*时，0的n次方根是0，C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，D错误5(2019江苏、苏州市高一期中测试)求值：_.解析.素养作业提技能A组素养自测一、选择题1的结果是(B)A2B2C2D以上都不对解析2.故选B2下列各式正确的是(C)ABaCDa01解析，|a|，a01条件为a0，故A，B，D错3若2 019m2 020，则()3等于(A)A1B4 0312mC4 031D2m4 031解析
10、因为2 019m2 020，所以m2 0200.故原式m2 019|m2 020|m2 0192 020m1.故选A4若有意义，则x的取值范围是(C)Ax2Bx3C2x3DxR解析由题意，知x20，且3x0，所以2x3.二、填空题564的6次方根是_2_，计算64的值是_.解析(2)664，64的6次方根是2；64.6已知aR，nN*，给出四个式子：；，其中没有意义的是_.(只填式子的序号即可)解析中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义三、解答题7写出使下列各式成立的实数x的取值范围：(1)；(2)(5x).解析(1)由于根指数是3，故x只需使有意义即可，此时x30，即x3.故实数x的取值范围是x3.(2)(5x)，5x5.实数x的取值范围是5x5.B组素养提升一、选择题1化简(x)2的结果是(B)ABxCxDx解析由知x0，又当x0，y0，且()3(5)，求的值解析由x0，y0且()3(5)得x315y，即x215y0，整理有(5)(3)0，因为x0，y0，所以5，即x25y，所以3.