1、121任意角的三角函数【教学内容解析】三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化，是函数概念的下位知识。 三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学及其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。因此本节内容具有承上启下的作用。任意角三角函数
2、概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义，它们是本节，乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助单位圆、象限角等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、对应等数学思想方法【教学目标设置】1、通过大量实例，认识到定义任意角三角函数的必要性；网2、借助单位圆上的圆周运动，抽象概括出任意角正弦、余弦定义，并体会命名的合理性；能根据定义求特殊角的三角函数值。3、在抽象概括三角函模型的过程中，体会数形结合等数学思想。【学生学情分析】初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应
3、的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。三角函数是 “从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要 “把角的集合转化为实数集”回顾前一节的弧度制学生可以自
4、行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。【教学重点、难点】重点：借助单位圆上点的圆周运动生成理解任意角的正弦、余弦的定义；能根据定义求特殊角的三角函数值。难点：从单位圆上点的圆周运动这一模型中寻找变量并抽象概括出函数。【教学策略分析】“任意角三角函数的概念”是“函数概念”的下位概念，学生的学习是下位学习（一般函数概念下的具体函数），为了更好地突出“任意角三角函数的函数性”和“三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质”，并能根据定义进行简单求值，所以在教学策略上，我以“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”为指导思想，以圆周运动这一数学模型为教学起点，调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函
5、数等相关知识，从该模型中寻找变量抽象概括出任意角三角函数的概念。故在本课时中我对人教A版的教材及相关材料做如下处理。内容上：第一课时只讲解正弦、余弦函数的定义。（因为正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，）结构上：通过实例体现“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”并发现函数模型不够用了，进而利用单位圆上的圆周运动，由老师适当引导，学生寻找变量并抽象概括出任意角正弦、余弦的定义，而不是利用以直角三角形为载体的锐角三角函数定义来引课。理由如下：（1）锐角三角函数以比值为函数值，是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的；任意角三角函数以坐标分量为函数值，是研究现实生活中的周期
6、现象而发展起来的，他们研究的对象不同，表现的性质也不同。所以我们不能简单地认为任意角三角函数是锐角三角函数的推广（或一般化）又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”。（2）在任意角三角函数的概念形成之前，如果通过回顾初中的三角形中的锐角三角函数定义，之后坐标化、长度单位化、角的任意化，最后给出定义，这样处理容易给学生造成定义任意角三角函数离不开锐角三角函数的错觉，冲淡任意角正弦、余弦的函数性，可能导致学生无法把任意角的三角函数纳入到函数的概念中。这样处理可以让学生直观地理解三角函的概念，体会把三角函数称作“圆函数”的原因，并为后续的性质、图像的学习带来方便，也可以让学生更
7、好地体会数形结合、运动变化、对应等数学思想。基于以上及结合学生知识水平,年龄特点，教师首先展示大量实例，体会引入新函数模型的必要性；通过几何画板演示圆周运动，教师问题串引导，以学生活动为主线,给学生留下思考的空间，自主发现，抽象概括出任意角的正弦、余弦的定义，并让学生探究该命名的合理性（数学中新的概念或法则的引进，我们总是希望其与原有的概念或法则是相容的），使学生的学习过程成为在教师的指导下的“再创造”过程，体现学生的主体地位。【教学流程】一、情境引入、提出问题1、师：必修一我们学习了函数，通过学习我们知道函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型。（列举大量实例，利用ppt师生互动）如：（1）
8、铅球如何能掷的更远、投篮如何更准，那我们就要研究抛物运动，抛物运动用什么函数模型来刻画？（2）必修一学习的指数函数，对数函数，他们分别是刻画那些具有“指数爆炸”“对数增长”现象的数学模型。2、师：在现实世界中还有这样一类现象，同学们请看。（ppt展示图片）师生总结出昼夜更替，四季变化，潮汐变化，月相变化等。师：这类现象有什么样的共同特点？生：都具有周而复始的特点。师：很好，这种现象我们叫做周期现象。周期现象在现实生活中大量存在，时刻影响着我们的生活，为了使我们的生活更加美好、看清现象的本质。我们很有必要研究周期现象，同学们思考，已有的这些函数模型能否刻画这种周期性现象呢？师：函数模型不够用了，
9、这节课我们就寻找新的函数模型来刻画现实生活中的周期现象。【设计意图】用数学的观点，函数的视角看待自然现象和客观世界运行规律，体现函数的重要性，定义新函数的必要性。二、构建模型、寻找函数（一）准备工作（引进圆周运动，坐标系，圆的单位化）师：刚才我们所举的周期现象的例子，是如何引起的？生A：（可能略作思考）由旋转引起的。师：是一种什么运动？生A：圆周运动老师表述：在“周而复始”现象中，最典型的是圆周运动【圆上的点P的每转一周（2弧度）就回到原来的位置】。数学中，研究一类现象，我们往往从简单而本质的情形入手。因此，本节课我们就从圆周运动中抽象概括出刻画周期现象的函数模型。师：要从圆周运动中抽象概括出
10、函数代数表达式，我们还缺什么工具？【几何画板展示、引出坐标系，体现数形结合思想】师：平面直角坐标系是联系几何与代数的桥梁，是实现数形结合思想的关键。坐标系放在什么位置合适？【建立恰当直角坐标系】师：在研究点P的周期特性时，了研究方便，我们不妨取圆的半径op=1，我们把以原点为圆心，单位长为半径的圆叫单位圆【将圆单位化】(板书单位圆）（二）寻找变量，构建函数师：要用函数刻画周期现象，就离不开变量。在坐标系中，哪些变量能刻画单位圆上点P的变化规律呢？（学生可能回答坐标，弧长，时间等，根据情况具体讨论）生: P点的坐标师：坐标可以很好的刻画点p的位置，请同学们思考，能否用变量 x和y建立一个函数关系
11、式刻画点P在单位圆上的变化规律？（学生可能说用刻画，可问学生其是函数么？能体P点运动的现周期特性么？）师：x，y之间不能构成函数，所以要构造函数我们还缺少变量。请同学们思考，还有什么变量能刻画p点运动的周期特性呢？各小组讨论，并说说合理性。生：可以用角来描述p点运动的周期特性。师：什么样的角？生：射线OP旋转所成的角，就是上一节课的任意角。师：这时点P可以看成角终边与单位圆的交点，这个角是如何体现P点运动的周期特性呢？生：终边旋转2弧度又回到原来位置，可以周而复始的旋转下去。师：给予表扬，请坐（结合几何画板总结）终边每旋转弧度，P点就回到原来位置体现了周期性。逆时针旋转可以用正角刻画，顺时针旋
12、转可以用负角刻画，不旋转用零角刻画，并且P点可以无限地旋转下去，所以我们可以用任意角去刻画P点的周期变化规律。（三）联系变量，构造函数师：接下来请同学们思考，角与坐标分量x，y分别有什么样的对应关系呢？能否构造出函数？请各小组讨论，最后给出成果。生：角和变量x，y有两个对应关系对于任意一个角都有唯一确定的横坐标x与之对应； 对于任意一个角都有唯一确定的纵坐标y与之对应.师：（板书并问） 以谁为自变量，以谁为函数值的函数？生：角是自变量，坐标分量为函数值的两个函数！师：（不妨记为；）老师有个疑问？角是实数么？生：是，他的弧度数是个实数。师：很好，请坐。弧度制下，任意角的集合就是实数集R,看来引入
13、弧度制是很有必要的。单位圆上的坐标分量x，y取值集合是什么？ 答-1,1,师：哪位同学从集合与对应的角度来描述一下这两个函数？生：对于R中的任意一个实数，都有-1,1中唯一确定的数x与之对应；同理师：（表扬）上述对应满足函数的定义，即是以角的弧度数为自变量，以角的终边与单位圆的交点的坐标分量为函数值的函数。【设计意图】1、这部分是本节课的重点也是难点，结合函数概念、象限角、弧度制等知识，通过几何画板的直观演示，达到突出重点突破难点的目的。2、利用单位圆上的圆周运动寻找任意角三角函数概念，在概念的形成过程中，体会函数思想，数形结合思想。三、生成概念、恰当命名师：上述两个函数密切配，很好地刻画了做
14、圆周运动的点P的周期特性，这么重要的函数同学们考虑给他们起个具体的名字吧，并给一个记号。【小组讨论。】生：x叫做的余弦，记作；y叫做的正弦，记作.合理性：（学生阐述）老师说明：这样命名前后一致，具有合理性。一般地，在数学中，当我们引进一个新的概念或法则时，我们总是希望它与已有的概念或法则相容。因为角是任意角，所以这节课我们学习的内容是（板书标题）我们给出任意角的三角函数的完整定义。（板书）老师总结：至此，利用圆周运动同学们构建了任意角的正弦函数和余弦函数，每隔2弧度，P点坐重复出现，所以这两个函数是刻画周期现象最有表现力的函数，因为起源于圆周运动，我们也称他俩也被称为圆函数。【设计意图】1、定
15、义的合理性。2、通过积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，体会合情猜测的重要性，并从中感悟数学概念的严谨性与科学性；四、例题分析，巩固提高练习1： 完成下列表格:例1. 求 的正弦、余弦值.总结：求任意角的正余弦值关键是要求其终边与单圆的交点坐标。【设计意图】能根据定义求特殊角的三角函数值。例2. 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦值 .课后思考：P（-3，-4）改为P（），如何求角得正弦余弦值。【设计意图】深化定义五、课堂小结，布置作业小结: 同学们，本节课解决了具有周期性现象的函数模型问题，在这个过程中你有哪些体会和收获？请你从具体知识及知识体系、思想方法的角度简要叙述。作业：附：板书设计 二次、一次指数、对数函数1.2.1 任意角的三角函数现象函 数 一、 单位圆 顺应xOyMP(x,y)1例1周期现象任意角的三角函数 相容 锐角三角函数二、 定义例2