1、第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布授课提示：对应学生用书第389页A组基础保分练1.已知随机变量X的分布列为X123P0.20.40.4则E（6X8）（）A.13.2B.21.2C.20.2D.22.2解析：由题意知EX10.220.430.42.2，E（6X8）6EX862.2821.2.答案：B2.（2021大庆模拟）已知B，并且23，则方差D（）（）A. B. C. D.解析：由题意知，D4，23，D4D4.答案：A3.（2020河南焦作一模）设XN（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：
2、若XN（，2），则P（X）0.682 6）A.7 539 B.6 038C.7 028 D.6 587解析：因为XN（1，1），所以1，1，2，0，因为P（X）0.682 6，所以P（0X2）0.682 6，则P（11）0.5，P（X2）0.3，则P（Xa）0.5.由P（X1）0.5，可知a1，所以P（X2）0.3.答案：B5.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为（）A. B. C.2 D.解析：因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P（X2），P
3、（X3），所以EX23.答案：D6.（2021日照模拟）甲、乙两自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X、Y的分布列分别是X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判断（）A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好C.甲比乙质量相同 D.无法判定解析：EX0.10.20.30.6，EY0.30.40.7，EXEY，甲车床生产的零件次品较少.答案：A7.（2021上饶期末测试）已知随机变量X的分布列如下，若随机变量Y2X3，则Y的期望是_.X101Pp解析：根据随机变量的分布列的性
4、质，可知p1，解得p，由期望的公式，可得随机变量X的期望E（X）101.又Y2X3，所以EY2EX323.答案：8.某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，2）.若分数在（70，110内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为_.解析：记考试成绩为，则考试成绩的正态曲线关于直线90对称.因为P（70110）（10.7）0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 0000.15 150.答案：1509.（2021南通联考）甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲、乙两人从装有4个红球、1个黑球（除颜色外完全相同）的袋中轮
5、流不放回摸取1个球，摸到黑球便结束该局，且摸到黑球的人获胜.（1）若在一局游戏中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.解析：（1）记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A，易知黑球被摸到的情况有5种，且被甲摸到的情况有3种，所以P（A）.故甲在该局获胜的概率为.（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X0）.P（X1），P（X2），P（X3），所以X的概率分布为X0123P数学期望EX0123.10.（2021邵阳联考）为了让
6、贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项：到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（1）如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望.解析：（1）用分层抽样的方法，抽样
7、比是，所以5人中参与班级宣传的志愿者有202（人），参与整理、打包衣物的志愿者有303（人），故所求概率P1.（2）X的所有可能取值为0，1，2，则P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为X012P所以X的数学期望EX012.B组能力提升练1.（2021徐州抽测）在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮.方案乙：始终在B点投篮.每次投篮相互独立，某选手在A点投中的概率为，投中一次得3分，没有投中得0分；在B点投中的概率为，投中一次得2分，没有投中得0分.用随机变量表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则
8、继续投篮，且一轮测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后的分布列和数学期望；（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.解析：（1）在A点的一次投篮中，投中记作A，未投中记作；在B点的一次投篮中，投中记作B，未投中记作，则P（A），P（）1，P（B），P（）1，的所有可能取值为0，2，3，4，则P（0）P（）P（）P（）P（），P（2）P（B）P（B）2，P（3）P（A），P（4）P（BB）P（）P（B）P（B）.所以的分布列为0234P所以E02343.05.（2）选手选择方案甲，通过测试的概率P1P（3）0.91，选手选择方案乙，通过测试的概率P2P（3）
9、20.896，因为P2P1，所以该选手选择方案甲通过测试的可能性较大.2.（2021武汉武昌区调研）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位：cm），从某批产品中随机抽取100件，测量发现长度全部介于85 cm和155 cm之间（包含85 cm和155 cm），得到如下频数分布表：分组85，95）95，105）105，115）115，125）125，135）135，145）145，155频数2922332482已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求P（132.2l14
10、4.4）；（2）公司规定：当l115时，产品为正品；当l115时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：12.2.若XN（，2），则P（X）0.682 7，P（2X2）0.954 5，P（3X3）0.997 3.解析：（1）样本平均数900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120，样本方差s29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150.所以lN（120，150），又12
11、.2，所以P（l）P（120l132.2）0.682 70.341 4，P（l2）P（120l144.4）0.95450.4773，所以P（132.2l144.4）P（120l144.4）P（120l132.2）0.1359.（2）由频数分布表得，P（l115）0.020.090.220.33，P（l115）10.330.67.随机变量的所有可能取值为90，30，且P（90）0.67，P（30）0.33.则随机变量的分布列为9030P0.670.33所以E900.67300.3350.4.C组 创新应用练某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额
12、外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（1）求X的分布列；（2）若要求P（Xn）0.5，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解析：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损
13、零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X16）0.20.20.04；P（X17）20.20.40.16；P（X18）20.20.20.40.40.24；P（X19）20.20.220.40.20.24；P（X20）20.20.40.20.20.2；P（X21）20.20.20.08；P（X22）0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04（2）由（1）知P（X18）0.44，P（X19）0.68，故n的最小值为19.（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当n19时，EY192000.68（19200500）0.2（192002500）0.08（192003500）0.044040.当n20时，EY202000.88（20200500）0.08（202002500）0.044080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.