1、第五节 古典概型基础梳理1.基本事件 在一次试验中可能出现的每一个 称为基本事件.2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概型.（1）所有的基本事件 ;（2）每个基本事件的发生都是 的.3.古典概型的概率公式 P(A)=.基本结果只有有限个等可能A包含的基本事件的个数基本事件的总数典例分析题型一 有关古典概型概念【例1】判断下列命题正确与否.（1）先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是 ;（2）射击运动员向一靶心进行射击.试验的结果为：命中10环，命中9环,，命中0环，这个试验是古典概型；（
2、3）袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（4）4个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.31解 所有命题均不正确.(1)应为4种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”.（2）不是古典概型.因为命中10环，命中9环，命中0环不是等可能的.（3）摸到红球的概率为 ,白球的概率为 ,黑球的概率为 ,因此每种颜色的球被摸到的可能性不相同.（4）抽签有先有后，但每人抽到某号签的概率是相同的.其理由是：假设4号签为中奖签，甲先抽，抽到中奖签的概率为 ，乙接着抽，其抽中4号签的概率为 =.依此类推，丙、丁抽到4号签的概率都为 .分析
3、 弄清基本事件的个数，古典概型的两个特点及概率计算公式.3141319492414341学后反思 弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面.判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分;而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性.1.下列试验中，是古典概型的有 .种下一粒种子观察它是否发芽;从规格直径为2500.6 mm的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径d;抛一枚均匀硬币，观察其出现正面或反面;某人射击中靶或不中靶.举一反三 解析:根据古典概型的定义及特点知，中每个基本事件出现的可能性不相等.答案:题型
4、二 求基本事件数并求概率【例2】（2009维坊模拟）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球.问：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？分析 分析基本事件时，抓住基本事件的特点，能够一一列举出来，进而求解.解 (1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球,有如下基本事件（如摸到1、2号球用（1，2）表示）:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此，共有10个基本事件.（2）上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到
5、两只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.学后反思 （1）对一些情景较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复.310（2）取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，许多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验,解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响.关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.2.做投掷
6、两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第二颗骰子出现的点数，写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于8”的基本事件；举一反三（3）事件“出现点数相等”的基本事件；（4）事件“出现点数之和大于10”的基本事件.解析：（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5
7、，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），(5,6),（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.（3）“出现点数相等”包含以下6个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）.(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：（5，6），（6，5），（6，6）.题型三 古典概型问题【例3】同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一
8、个5点或6点”的概率.分析 因为抛掷两枚骰子出现的点数的基本事件总数是有限的，而且每个基本事件发生的可能性相等,故是古典概型.因此，可以列出所有基本事件，利用古典概型求解.解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P=.（2）方法一：从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P=.164513699 536205369方法二：“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”.如上表“既没有5点又没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点又没有6点”的概率P=,所以“至
9、少有一个5点或6点”的概率为 .45199164369学后反思解 决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数m,因此要注意以下几个方面：(1)明确基本事件是什么；(2)试验是否是等可能性的试验；(3)基本事件总数是多少；(4)事件A包含多少个基本事件.举一反三 3.(2009福建)袋中有大小、形状都相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取三次,每次摸取一个球.试问:(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求三次摸球所得总分为5的概率.解析：(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红
10、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑).(2)记“三次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3,由(1)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为P(A)=.38题型四 复杂的古典概型的概率的求法【例4】(14分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的
11、个数；（2）求取球两次即终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.分析 因为袋中共有7个球，基本事件总数是有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概型.另外要注意是不放回地摸球，每次摸出的球不能重复.解 (1)设袋中原有n个白球，且nN*,2n7,从袋中任取2个球都是白球的结果数为 ,3 从袋中任取2个球的所有可能的结果为 .5 由题意知.,7 所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2).8 即袋中原有白球3个.（2）设事件A表示“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球,则 .11 2(1)2nn nC277 6212C(1)1(1)272142n n
12、n n 114311764 327 67CCP ACC（3）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai,i=1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取白球.12 所以 .14 13513534 3 34 3 2 1 33612277 6 57 6 5 4 37353535P BP AAAP AP AP A 学后反思 从本题可看出，概率问题的难点在于正确分析某事件所有可能结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件的概率只是解决问题的工具而已.另外该题涉及到无放回的抽样,对于无放回的抽样,每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次;与其相对应的
13、是有放回的抽样，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复出现，且摸球可无限地进行下去.举一反三 4.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋只有3个黄色、3个白色的球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板，写道：“摸球方法：从小布袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱”.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？解析：把3个黄球标记为A、B、
14、C，3个白球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.（1）事件E=摸出的3个球为白球，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球P（E）=0.05.（2）事件F=摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件F包含的基本事件有9个，P（F）=0.45.(3)事件G=摸出的3个球为同一颜色=摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，P（G）=0.1.假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发
15、生有10次,不发生有90次,则一天可赚901-105=40,所以每月可赚1 200元.120920220【例】曲线C的方程为 ,其中m、n1,2,3,4,5,6,事件A=方程 表示焦点在x轴上的椭圆,那么P(A)=.易错警示1nymx22221nymx2222错解 由已知条件知，方程 表示的曲线包括焦点在x轴上的椭圆和焦点在y轴上的椭圆两种，故所求的概率为 .1nymx222221错解分析 事件A所包含的基本事件的个数搞错.若仔细审题，我们可发现：当m、n1,2,3,4,5,6时，若方程为 表示的曲线是椭圆，则焦点在x轴和y轴上的椭圆是等可能出现的,其概率确实为12.但由题意知,方程 表示的曲
16、线可以是椭圆，也可以是圆（只需要m、n取同一个数即可）.1nymx22221nymx2222正解 方程 表示的曲线共有66=36(种)，而方程 表示焦点在x轴上的椭圆的个数为5+4+3+2+1=15.故P（A）=.1nymx22221nymx22221253615 考点演练10.袋中有3只白球和a只黑球，从中任取2只，全是白球的概率为 ,求a的值.17解析：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5,，a+3号，从中任取2只,有如下基本事件（1，2），（1，3），（1，a+3）；（2，3），（2，4），（2,a+3）;（a+2,a+3）,共（a+2）+(a+1)+1=个，“全部是白球”记为事件A，
17、事件A有(1,2),(1,3),(2,3)共3个，所以 ,解得a=4.322aa 313272P Aaa11.把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,试就方程组 ax+by=3,x+2y=2,解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率；（2）求方程组只有正数解的概率.解析：事件（a,b）的基本事件共有36个.由方程组 ax+by=3,x+2y=2 可得 (2a-b)x=6-2b,(2a-b)y=2a-3.(1)方程组只有一个解，需满足2a-b0,即b2a;而b=2a的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3个，所以方程组只有一个解的概率为P=.
18、33113612(2)方程组只有正数解，需b-2a0且 ,即 2ab,a32,b3 或 2ab,a32,b3.其包含的事件有13个：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6),因此所求的概率为 .62022302bxabayab 133612.(2009天津)为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2
19、个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.解析：(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数之比为 ,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.71639(2)设 ,为在A区中抽得的2个工厂,为在B区中抽得的3个工厂,为在C区中抽得的2个工厂,这7个工厂中随机地抽取2个,全部的可能结果有 种,随机抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有 ,共有 11种.所以所求的概率为 1A2A1B2B3B1C2C27C12(,)A A11,A B12,A B13,A B11,A C12,A C21,A B22,A B23,A B21,A C22,A C27111127C