1、函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数的定义域为，区间，如果取区间中的任意两个值、，改变量，则当时，就称函数在区间上是增函数；当时，就称函数在区间上是减函数。2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性(区间称为单调区间)。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。多选例1-1下列给定函数中，在区间上单调递减的函数是( )。A、 B、 C、 D、【答案】BC【解析】在上是增函数，在上是减函数，在上是减函
2、数，在上是增函数，则和在区间上单调递减的函数，选BC。(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。如函数的定义域为，当时是增函数，当时是减函数。2、任意性：“任意取、”，不能取两个特殊值；、有大小，通常规定；、必须同属于定义域的某个子区间。3、区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区
3、间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集。如函数的单调递增区间是，在上递增，但不能说区间是该函数的递增区间。注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结。例如，函数在区间上是减函数，在上是减函数，但在上却不一定是减函数。如函数。例1-2函数的单调减区间是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，结合图像可知选A。(三)同增异减的三种解释1、若，则函数是单调增函数，若，则函数是单调减函数，若，则函数是单调减函数，若，则函数是单调增函数；2、若或，则函数是单调增函数； 若或，则
4、函数是单调减函数；3、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，复合函数单调性同增异减。例1-3函数的递增区间是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由得，即或，令，则在上为减函数，又对数函数为减函数，由复合函数的单调性可得，函数的递增区间是，故选A。(四)函数单调性的判断和单调区间的求法1、函数单调性的判断：(1)图像法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数的单调性。(2)直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们的单调性。(3)定义法：用定义证明函数的单调性，结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明，要严格
5、按照定义的步骤来进行，其中关键的一步是对作变形，其目的是能够判断的符号，常用的变形方法有：多项式因式分解或配方；分式通分后分子、分母因式分解；根式有理化；幂、指数、对数要运用各自的运算法则。对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行。(4)对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；可导函数则可以利用导数证明。例1-4判断函数在上的单调性。【解析】任取、，且，则，由于，即，故在上是增函数。变式1-4证明函数在上是增函数。【解析】任取、，且，则：，即，故在上是增函数。2、函数的单调区间的求法：函数的单调区间是函数定义域的
6、子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域。对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间。求函数的单调区间的常用方法：(1)利用已知基本初等函数的单调性，求单调区间，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)复合法：先求定义域，再利用复合函数单调性求单调区间。(3)利用函数的图像。如果是以图象形式给出的或者的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。(4)导数法：利用导数的正负确定函数的
7、单调区间。函数如果有幂次大于等于(含通分)，有指数函数、对数函数或三角函数等形式，用导数法。一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增。如果，那么函数在这个区间内单调递减。特别提示：如果在内恒有，那么在内是常数；，是在此区间上为增函数的充分而不必要条件。例1-5函数的单调递减区间为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】函数的定义域为，解解得，选B。(五)单调性的应用主要涉及进行大小比较，利用单调性求参数范围或最值，解抽象函数不等式。解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用。1、
8、比较函数值大小：已知函数的单调性比较函数值的大小，首先要确定自变量的大小，并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内，然后利用函数的单调性确定函数值的大小。2、已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解；(3)要注意：“函数的增区间是”与“函数在区间上单调递增”是不同的，后者意味着区间是函数的增区间的一个子集。(4)已知复合函数的单调性，拆分复合函数，利用同增异减。3、利用单调性求函数的最值：单调性法是求函数最值的
9、通法求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，导数法等。4、分段函数的单调性问题(1)深刻理解分段函数单调性的含义，既要保证每段单调，又要保证在转折点处单调。(2)数列是特殊的函数，它与一般函数的区别在于它的图像是一些孤立的点。5、函数中的新定义问题(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型函数问题难点的关键所在；(2)用好化归与转化思想，新定义问题最终都要转化为常规问题，如何转化，这就要寻找“新”与“旧”之间的连接点；(3)用好函数的性质，诸如函数的单调
10、性、奇偶性、周期性等以及新定义中的“新规定”。例1-6函数在上是减函数，则实数的范围是()。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】设，则，当时，单调递减，单调递增，又，当时，单调递增，单调递减，又，综上的范围是，故选C。变式1-6函数在上是增函数，则实数的范围是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】设，则，当时，单调递减，单调递减，又，当时，单调递增，单调递增，又，综上的范围是，故选A。二、函数的奇偶性(一)奇、偶函数的定义1、奇函数的定义：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数。2、偶函数的定义：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函
11、数叫做偶函数。例2-1下列函数为偶函数的是()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】B为奇函数，AC为非奇非偶函数，D为偶函数，故选D。(二)奇、偶函数的性质奇函数偶函数定义域关于原点对称随的变号而变号随的变号而不变号图象关于原点对称图象关于轴对称在原点两侧的对称区间上的单调性相同在原点两侧的对称区间上的单调性相反若在处有定义，则是既奇又偶函数1、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；函数是奇函数是函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形的充分且必要条件；函数是偶函数是函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形的充分且必要条件。2、除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函
12、数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数3、任意都可写成一个奇函数和一个偶函数的和。4、常见的奇函数：且(1)； (2)(为奇数)； (3)；(4)； (5)，；(6)，；(6)，；(7)， ，。5、常见的偶函数：(1)； (2)；(3)(为偶数)； (4)。例2-2若函数为奇函数，则实数()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】函数为奇函数，化为，解得，故选A。(三)函数奇偶性的判断方法1、利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义
13、域关于原点对称，再化简解析式，可进一步判断或是否对定义域内的每一个恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)。判断函数是奇函数，必须对定义域内的每一个均有，而不能说存在使，即判断函数是奇函数，不能用特殊值法。对偶函数的判断也一样。2、对于复杂函数，不易发现，的关系，则可以通过等价变形判断、或()是否成立来判断奇偶性。3、分段函数的奇偶性判断，要以整体的观点进行，最好结合图象分析，避免盲目套用定义出现错误。注意：判断分段函数的奇偶性应分段分别证明与的关系，只有对各段上的都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性。点评：是常函数，容易判错其奇偶性；若忽视定义域将无从入手；是分段函数，其奇偶性的判断在验证
14、等式时，要分清楚自变量的取值区间。例2-3已知()，且，则()。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】令，则是一个奇函数，故选C。(四)利用函数的奇偶性求函数值、参数值或解析式1、利用函数的奇偶性求函数值或参数值(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值。(3)利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。
15、2、利用奇偶性求函数的解析式(1)在哪个区间上求解析式，就设在哪个区间；(2)把对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用函数的奇偶性把改写成或，从而求出。例2-4若函数，且为奇函数，则()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】根据题意，当时，为奇函数，则，故选A。(五)函数奇偶性与单调性的综合应用1、利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响。2、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较。3、利
16、用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径。例2-5在定义域内既为奇函数又为单调递增函数的是( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】A、是非奇非偶的函数，也是单调递减函数，不满足条件，故A不选，B、是奇函数，但在区间()上是单调递增函数，在定义域内无单调性，不满足条件，故B不选，C、是定义域内的奇函数，也是单调递增函数，满足条件，故C选，D、是非奇非偶的函数，是单调递减函数，不满足条件，故D不选，故选C。变式2-5下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】A定义域为，关于原点对称，
17、但是，为非奇非偶函数，B定义域为，关于原点对称，又，为奇函数，C定义域为，关于轴对称，又，为偶函数，D定义域为，关于原点对称，又，为偶函数，故选A。例2-6对于函数：；有如下两个命题：命题：是偶函数；命题：在上是单调递减函数，在上是单调递增函数。能使命题、均为真的所有函数的序号是()。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】为偶函数，在上是减函数，在上是增函数，不符，是偶函数，对称轴为，在上减，在上增，符合，是偶函数，但在上不是减函数，在上不是增函数，不符，故选C。三、函数的周期性和对称性(一)函数的周期性1、若函数满足，由函数周期性的定义可知是函数的一个周期。若无特殊说明，一般指函数的最小正
18、周期。2、函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。(1)若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；(2)若对任何都有，则是以为周期的函数；(3)若对任何都有()，则是以为周期的函数；(4)若函数有两条对称轴，则是以为周期的函数；若偶函数的图像关于直线 ()对称，则是以为周期的函数；(5)若函数的图像关于点和点()对称，则是以为周期的函数；若奇函数的图像关于点()对称，则是以为周期的函数；(6)函数的图像关于直线和点()对称，则是以为周期的函数。若奇函数的图像关于直线()对称，则是以为周期的函数。3、周期性及其应用：奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是
19、利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。例3-1设是以为周期的函数，且当时，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，故选B。变式3-1已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由，得，是周期为的奇函数，又当时，故选B。(二)函数的对称性1、函数自身的对称性(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：，即。证明：(必要性)设点是图像上任一点，点关于点的对称点也在图像上，即，故，必要性得证。(充分性)设点是图像上任一点，则，即。点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性
20、得证。推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。2、不同函数对称性(1)函数与的图像关于直线成轴对称。(2)互为反函数的两个函数关于直线对称。例3-2下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】设为所求函数图像上任意一点，则点关于直线对称的点，由题意可知在函数的图像上，即，故选B。例3-3函数的图像与函数()的图像关于原点对称，则的表达式为( )。A、() B、()C、() D、()【答案】D【解析】设关于原点的对称点为，()()，故选D。例3-4若函数的对称轴为，则常数( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】令，则为偶函数，关于对称，向右平移个单位，关于对称，则，故选A。