1、第四章 三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题考点自测1.sin 2cos 3tan 4的值 ()A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在2.已知点P(cos 300,sin 300)是角终边上一点,则sin -cos =()A.+ B.-+C.- D.-3.2019全国卷,5分tan 255=()A.-2- B.-2+ C.2- D.2+4.2020全国卷,5分若为第四象限角,则()A.cos 20 B.cos 20 D.sin 205.已知sin +cos =,(0,),则=()A.-B.C.D.-6.2019北京,5分如图4-1-1,A,B
2、是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 图4-1-17.2018全国卷,5分已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=,则|a-b|=()A. B.C.D.18.多选题下列说法正确的是()A.第二象限角大于第一象限角B.无论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关C.若sin =sin ,则与的终边相同或关于y轴对称D.若cos 0,则是第二或第三象限的角拓展变式1.在一块顶角为120
3、、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图4-1-3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短,则方案更优.图4-1-32.(1)2021洛阳市联考已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线y=3x重合,且sin 0,P(m,n)是角终边上一点,且|OP|=(O为坐标原点),则m-n等于()A.2 B.-2C.4 D.-4(2)2017北京,5分在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =,则cos(-)=.3.(1)2020全国卷,5分已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()A. B.
4、 C. D.(2)2016全国卷,5分若tan =,则cos2+2sin 2=()A. B. C.1 D.(3)2018全国卷,5分已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.4.(1)2017全国卷,5分函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值为()A. B.1 C. D.(2)设f()=(1+2sin 0),则f(-)=.5.已知tan =2,则cos(+2)=()A. B. C.- D.-答 案第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.A因为2340,cos 30,所以sin 2cos 3tan 40.2.D由点P(cos 300
5、,sin 300)是角终边上一点,可得sin -cos =sin 300-cos 300=-.3.D由正切函数的周期性可知,tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=2+,故选D.4.D为第四象限角,sin 0,sin 2=2sin cos 0.故选D.5.A解法一sin +cos =,两边同时平方得1+2sin cos =,所以sin cos =-0,则cos 0.因为(sin -cos )2=1-2sin cos =,所以sin -cos =.所以=-,故选A.解法二因为sin +cos =,所以sin(+)=,sin(+)=,又(0,),故+(,),则c
6、os(+)=-=-.所以tan(+)=-,所以=-.6.B图D 4-1-1如图D 4-1-1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧APB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时ABP面积最大,阴影区域面积也最大.下面计算当点P为优弧APB的中点时阴影区域的面积.因为APB为锐角,且APB=,所以AOB=2,AOP=BOP=180-,则阴影区域的面积S=SAOP+SBOP+S扇形OAB=222sin(
7、180-)+222=4+4sin ,故选B.7.B由题意知=,即b=2a.因为cos 2=2cos2-1=,所以cos2=,即()2=,所以a2=,则|a-b|=|-a|=|a|=.8.BC第一象限角370大于第二象限角100,故A错误;易知BC正确;当=时,cos =-10,此时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故D错误.故选BC.1.一由已知可知A=B=,AM=BN=1,AD=2,则方案一中扇形的弧长为2=,方案二中扇形的弧长为1=;方案一中扇形的面积为22=,方案二中扇形的面积为12=.由此可见:两种方案中利用废料面积相等,方案一中切割时间更短.因此方案一更优.2.(1)A因为P(m,
8、n)在直线y=3x上,所以n=3m,又sin 0,所以m0,n0.由|OP|=,得m2+n2=10.联立,并结合m0,n0,所以角为第一象限角或第二象限角.当角为第一象限角时,可取其终边上一点(2,1),则cos =,又点(2,1)关于y轴对称的点(-2,1)在角的终边上,所以sin =,cos =-,此时cos(-)=cos cos +sin sin =(-)+=-;当角为第二象限角时,可取其终边上一点(-2,1),则cos =-,因为点(-2,1)关于y轴对称的点(2,1)在角的终边上,所以sin =,cos =,此时cos(-)=cos cos +sin sin =(-)+=-.综上可得
9、,cos(-)=-.3.(1)A3cos 2-8cos =5,3(2cos2-1)-8cos =5,3cos2-4cos -4=0,解得cos =2(舍去)或cos =-.(0,),sin =.故选A.(2)A解法一由tan =,cos2+sin2=1,得或则sin 2=2sin cos =,则cos2+2sin 2=+=.故选A.解法二cos2+2sin 2=.故选A.(3)-解法一sin +cos =1,cos +sin =0,sin2+cos2+2sin cos =1,cos2+sin2+2cos sin =0,两式相加可得sin2+cos2+sin2+cos2+2(sin cos +c
10、os sin )=1,sin(+)=-.解法二由已知可得sin =1-cos ,cos =-sin ,由同角三角函数关系式可得sin2+cos2=(1-cos )2+(-sin )2=1,整理得cos =,所以sin =.又cos =-sin ,所以cos sin =-cos2=sin2-1=-,故sin(+)=sin cos +cos sin =-.4.(1)A因为cos(x-)=cos(x+)-=sin(x+),所以f(x)=sin(x+),于是f(x)的最大值为,故选A.(2)因为f()=,所以f(-)=.5.D由诱导公式可得,cos(+2)=cos2+(+2)=cos(+2)=-sin 2=-.故选D.