1、2014-2015学年广东省湛江一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.请把答案填写在答题卷中）.1（5分）a=0是复数a+bi（a，bR）为纯虚数的（）条件 A 充分 B 必要 C 充要 D 非充分非必要考点： 复数的基本概念专题： 数系的扩充和复数分析： 复数a+bi（a，bR）为纯虚数，即可判断出解答： 解：复数a+bi（a，bR）为纯虚数，因此a=0是复数a+bi（a，bR）为纯虚数的必要不充分条件故选：B点评： 本题考查了复数为纯虚数的充要条件，属于基础题2（5分）设复数z1=34i，z2=2+3i，则z1z2在复平面内对应的点位于（
2、） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限考点： 复数代数形式的加减运算；复数的基本概念专题： 计算题分析： 先求两个复数的差的运算，要复数的实部和虚部分别相减，得到差对应的复数，写出点的坐标，看出所在的位置解答： 解：复数z1=34i，z2=2+3i，z1z2=（34i）（2+3i）=57i复数z1z2在复平面内对应的点的坐标是（5，7）复数对应的点在第四象限故选D点评： 考查复数的运算和几何意义，解题的关键是写出对应的点的坐标，有点的坐标以后，点的位置就显而易见3（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）
3、 A 模型1的相关指数R2为0.96 B 模型2的相关指数R2为0.86 C 模型3的相关指数R2为0.73 D 模型4的相关指数R2为0.66考点： 回归分析专题： 阅读型分析： R2越接近1，拟合效果越好，由此可作出判断解答： 解：由相关指数R2的意义可知，R2越接近1，拟合效果越好，综合选项可知：模型1的相关指数R2为0.96为最大，故拟合效果最好故选A点评： 本题查看相关指数的意义，属基础题4（5分）设0，已知a1=2cos，an+1=（nN*），猜想an等于（） A 2cos B 2cos C 2cos D 2sin考点： 数列的概念及简单表示法专题： 规律型分析： 利用排除法分别进
4、行验证排除即可得到结论解答： 解：当n=1时，A选项2cos=2cos，排除A当n=2时，C选项2cos=2cos，排除Ca2=，此时D选项2sin=，排除D故选：B点评： 本题主要考查数列的通项公式的求解，利用已知条件进行排除即可，比较基础5（5分）（2014民乐县校级三模）下列表述正确的是（）归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理 A B C D 考点： 归纳推理；演绎推理的意义专题： 阅读型分析： 本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即
5、可得到答案解答： 解：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理故是正确的故选D点评： 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程6（5分）在线性回归模型中，下列叙述正确的是（） A 比较两个模型的拟合效果，可以通过比较它们的残差平方和的大小来确定，残差平方和越大的模型，拟合效果越好 B 在残差图
6、中，残差点所在的带状区域的宽度越窄，拟合效果越好 C 在残差图中，残差点所在的带状区域的宽度越宽，拟合效果越好 D 通过回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值考点： 命题的真假判断与应用专题： 概率与统计分析： 利用由残差平方和、残差点所在的带状区域的意义以及利用回归方程进行预报的特点逐一分析四个答案的正误，可得结论解答： 解：比较两个模型的拟合效果，可以通过比较它们的残差平方和的大小来确定，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故A错误；在残差图中，残差点所在的带状区域的宽度越窄，拟合效果越好，故B正确；C错误；通过回归方程得到的预报值就是预报变量的估计值，故C错误；故选：B点评： 本题以命
7、题的真假判断为载体考查了残差平方和、残差点所在的带状区域的意义以及利用回归方程，难度不大，属于基础题7（5分） “因为对数函数y=logax在（0，+）上是增函数（大前提），而y=logx是对数函数（小前提），所以y=logx在（0，+）上是增函数（结论）”，上面推理错误的是（） A 大前提错误导致结论错 B 小前提错误导致结论错 C 推理形式错误导致结论错 D 大前提和小前提错误都导致结论错考点： 进行简单的合情推理专题： 规律型分析： 当a1时，对数函数y=logax是增函数，当0a1时，对数函数y=logax是减函数，故可得结论解答： 解：当a1时，对数函数y=logax是增函数，当0a
8、1时，对数函数y=logax是减函数，故推理的大前提是错误的故选A点评： 本题考查演绎推理，考查三段论，属于基础题8（5分）由平面内性质类比出空间几何的下列命题，你认为正确的是（） A 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B 同垂直于一条直线的两条直线互相平行 C 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D 两组对边分别相等的四边形是平行四边形考点： 类比推理专题： 空间位置关系与距离分析： 根据课本定理即可判断解答： 解：A空间中过直线上一点有无数条直线与已知直线垂直，故不正确；B空间中同垂直于一条直线的两条直线不一定互相平行，故不正确；C与平面中一样，空间中过直线外一点有且只有
9、一条直线与已知直线平行，故正确；D在空间中两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，故不正确；故选：C点评： 本题考查空间中直线与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于基础题9（5分）圆=（cos+sin）的圆心的极坐标是（） A （1，） B （，） C （，） D （2，）考点： 简单曲线的极坐标方程专题： 计算题分析： 先在极坐标方程=（cos+sin）的两边同乘以，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换化成直角坐标方程求解即得解答： 解：将方程=（cos+sin）两边都乘以得：2=pcos+sin，化成直角坐标方程为x2+y2xy=0
10、圆心的坐标为（，）化成极坐标为（1，）故选C点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化10（5分）点P（1，0）到曲线（其中参数tR）上的点的最短距离为（） A 0 B 1 C D 2考点： 两点间距离公式的应用分析： 直接求距离的表达式，然后求最值解答： 解：点P（1，0）到曲线（其中参数tR）上的点的距离：t2+11故选B点评： 本题考查两点间的距离公式，以及参数方程的理解，是基础题二、填空题（每小题5分，共20分）11（5分）设复数=a+bi（a，bR，i是虚数单位），则
11、a+b的值是1考点： 复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件专题： 计算题分析： 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，根据复数相等的充要条件写出a，b的值解答： 解：复数=a+bia=0，b=1，则a+b的值是1故答案为：1点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数相等的充要条件，本题解题的关键是把复数整理成代数形式的标准形式12（5分）柱坐标（2，1）对应的点的直角坐标是考点： 柱坐标系与球坐标系专题： 坐标系和参数方程分析： 利用柱坐标与直角坐标的关系即可得出解答： 解：柱坐标（2，1）对应的点的直角坐标是，即故答案为：点评： 本题考查了柱坐标与
12、直角坐标的关系，属于基础题13（5分）（2014陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是考点： 简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质专题： 计算题；压轴题分析： 先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得解答： 解：将原极坐标方程，化为：sin+cos=1，化成直角坐标方程为：x+y1=0，则极点到该直线的距离是=故填；点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得14（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程
13、为（参数tR），圆C的参数方程为，（参数0，2），则圆C的圆心坐标为（0，2），圆心到直线l的距离为考点： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程专题： 计算题分析： 先利用两式相加消去t将直线的参数方程化成普通方程，然后利用sin2+cos2=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，求出圆心和半径，最后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可解答： 解：直线l的参数方程为（参数tR），直线的普通方程为x+y6=0圆C的参数方程为（参数0，2），圆C的普通方程为x2+（y2）2=4圆C的圆心为（0，2），d=故答案为：（0，2），点评： 本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系
14、的判断，以及转化与化归的思想方法本题出现最多的问题应该是计算上的问题，平时要强化基本功的练习，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15（12分）用综合法或分析法证明：（1）如果a0，b0，则；（2）求证：考点： 综合法与分析法(选修）专题： 证明题分析： （1）利用基本不等式可得，再由y=lgx在（0，+）上增函数，从而有（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止解答： （1）证明：a0，b0， （3分）（当且仅当a=b时，取“=”号） 即： （4分）又 y=lgx在（0，+）上增函
15、数，（5分）所以，=，故成立（7分）（2）证明：要证，只需证，（9分）只需证：，只需证：4240（12分）因为4240显然成立，所以 （14分）点评： 本题主要考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，用分析法证明不等式，属于中档题16（12分）（2014春福清市校级期中）已知复数（1）求复数z的实部和虚部；（2）若z2+az+b=1i，求实数a，b的值考点： 复数相等的充要条件；复数的基本概念专题： 计算题分析： （1）由复数的运算法则，把复数等价转化为z=1+i，能够得到复数z的实部和虚部（2）把z=1+i代入z2+az+b=1i，得：（a+b）+（2+a）i=1i，由复数相等的充要
16、条件，能够求出实数a，b的值解答： 解：（1），（7分）复数z的实部为1，虚部为1（2）由（1）知z=1+i，代入z2+az+b=1i，得：（a+b）+（2+a）i=1i，所以实数a，b的值分别为3，4（14分）点评： 本题考查复数的代数形式的运算和复数相等的充要条件的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答17（14分）（2013锦州二模）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表：优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为（）请完成上面的列联表；（）根据列联表的数据，若按95%的可靠性
17、要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到6或10号的概率考点： 独立性检验的应用；等可能事件的概率专题： 计算题；图表型分析： （）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值（）我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进
18、行计算求解解答： 解：（） 优秀 非优秀 总计甲班 10 45 55乙班 20 30 50合计 30 75 105（）根据列联表中的数据，得到因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”（）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）（6，6），共36个事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个点评： 独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散
19、系数表，比较即可得到答案18（14分）（2014春遂溪县校级期中）已知函数f（x）=（1）求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（2）设a1，证明方程ax+f（x）=0没有负根考点： 函数单调性的判断与证明专题： 证明题；函数的性质及应用分析： （1）用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（1，+）上的单调性；（2）可以用反证法证明，基本步骤是假设结论不成立，由假设出发，经过推理证明，得出与假设矛盾的结论，从而证明假设不成立解答： 解：（1）证明：设x1，x2（1，+），且x1x2，（1分）则x1+10，x2+10，（2分）；（5分）f（x1）f（x2），（6分）函数f（x）在（1，+）
20、上为增函数；（7分）（2）证明：假设存在x00（x01），满足，（8分）则，（10分）且；（12分）这与假设x00矛盾，方程ax+f（x）=0没有负根 （14分）点评： 本题考查了关于函数的性质与应用的证明问题，解题时应根据题目的特点，进行分析与证明，是基础题19（14分）下表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据x3456y2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）请求出相关指数R2，并说明残差变量对预报变量的影响约占百分之几（参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5）考点： 线
21、性回归方程专题： 概率与统计分析： （1）首先做出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果；（2）直接根据相关指数公式求出相关指数R2，进而可得残差变量对预报变量的影响约占百分之几解答： 解：（1）由已知可得：，所求的回归方程为 （7分）（2）计算得残差及偏差的数据如下表： 0.05 0.15 0.15 0.05 1 0.5 0.5 1从而得，所以12分所以残差变量对预报变量的贡献率约为2%（14分）点评： 本题考查回归直线方程，相关指数，考查回归分析的初步应用确定回归直线方程是关键20（14分）在数列an中，a1=2，an+1=4an3n+1，
22、nN*（）证明数列ann是等比数列；（）求数列an的前n项和Sn；（）证明不等式Sn+14Sn，对任意nN*皆成立考点： 数列的求和；等比关系的确定；等比数列的性质专题： 综合题分析： （）整理题设an+1=4an3n+1得an+1（n+1）=4（ann），进而可推断数列ann是等比数列（）由（）可数列ann的通项公式，进而可得an的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得Sn（）把（）中求得的Sn代入Sn+14Sn整理后根据证明原式解答： 解：（）证明：由题设an+1=4an3n+1，得an+1（n+1）=4（ann），nN*又a11=1，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列（）由（）可知ann=4n1，于是数列an的通项公式为an=4n1+n所以数列an的前n项和（）证明：对任意的nN*，=所以不等式Sn+14Sn，对任意nN*皆成立点评： 本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力
