1、第三章 三角函数、解三角形授课提示：对应学生用书第277页A组基础保分练1(2021安庆模拟)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2Aasin B，且c2b，则等于()A.BC.D答案：D2在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC()A.BC.D2答案：C3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案：B4(2021厦门模拟)在ABC中，cos B，b2，sin C2sin A，则ABC的面
2、积等于()A.BC.D答案：D5(2020高考全国卷)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B()A.BC.D解析：由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C42322439，所以AB3，所以cos B.答案：A6在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且A60，若SABC且2sin B3sin C，则ABC的周长等于()A5B12C10D52解析：在ABC中，A60.因为2sin B3sin C，故由正弦定理可得2b3c，再由SABCbcsin A，可得bc6，所以b3，c2.由余弦定理可得a2b2c22bccos A7，所以a，故ABC的周长为abc5.答案：
3、A7(2021定西模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为_答案：8在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bcos Ccsin Bcos Ab，则B_.答案：或9(2020高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos A.(1)求A；(2)bca，证明：ABC是直角三角形解析：(1)由已知得sin2Acos A，即cos2Acos A0.所以20，cos A.由于0A，故A.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin Bsin Csin A由(1)知BC，所以sin Bsin
4、sin .即sin Bcos B，sin.由于0B，故B.从而ABC是直角三角形B组能力提升练1(多选题)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a8，b4，c7，且满足(2ab)cos Cccos B，则下列结论正确的是()AC60BABC的面积为6Cb2DABC为锐角三角形解析：(2ab)cos Cccos B，(2sin Asin B)cos Csin Ccos B，2sin Acos Csin Bcos Ccos Bsin C，即2sin Acos Csin(BC)，2sin Acos Csin A在ABC中，sin A0，cos C，C60，A正确；由余弦定理c2a2b22a
5、bcos C，得4964b228bcos 60，即b28b150，解得b3或b5，又b4，b3，C错误；ABC的面积Sabsin C836，B正确；又cos A0，A为钝角，ABC为钝角三角形，D错误答案：AB2(2021昆明模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满足c，acos Ccsin A的ABC有两个，则边长BC的取值范围是()A(1，)B(1，)C(，2)D(，2)答案：D3在ABC中，若，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：由已知，所以或0，即C90或.当C90时，ABC为直角三角形当时，由正弦定理，得，所以，
6、即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B.因为B，C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形答案：D4(多选题)已知等边三角形ABC边长为3，点D在BC边上，且BDCD，AD.下列结论中正确的是()A.2B2C.2D2解析：如图所示，在三角形ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos，整理得BD23BD20，BDCD，BDBC，解得BD2，CD1，则2，故A正确；2，故B正确；由余弦定理得cosBAD，同理可得cosCAD，sinBAD，sinCAD，因此，2，故C错误，D正确答案：ABD5(2021
7、惠州一调)在ABC中，B，AB，BC3，则sin A_.答案：6在ABC中，A2B，AB，BC4，CD平分ACB交AB于点D，则线段AD的长为_答案：17(2021郑州模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为S，且满足sin B.(1)求sin Asin C；(2)若4cos Acos C3，b，求ABC的周长解析：(1)因为ABC的面积为Sacsin B，sin B，所以4sin Bb2，所以ac，所以由正弦定理可得sin Asin C.(2)因为4cos Acos C3，sin Asin C，所以cos Bcos(AC)sin Asin Ccos Acos C
8、.因为b，所以ac8，所以由余弦定理可得15a2c2ac(ac)2ac(ac)212，解得ac3，所以ABC的周长为abc3.8(2021山东滨州模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a4，_，求ABC的周长L和面积S.在cos A，cos C；csin Csin Absin B，B；c2，cos A这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答注：如果选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分解析：选条件.因为cos A，cos C，且0A，0C，所以sin A，sin C.又在ABC中，ABC，即B(AC)，所以sin Bsin(AC)sin Acos Cco
9、s Asin C，则由正弦定理得，b2.因为sin Bsin C，所以cb2，所以ABC的周长Labc42244，ABC的面积Sabsin C428.选条件.因为csin Csin Absin B，所以由正弦定理得c2ab2.又a4，所以b2c24.因为B，故由余弦定理得b2c21624c，所以c24c16c24，解得c5，则b.故ABC的周长Labc459，ABC的面积Sacsin B455.选条件.因为c2，cos A，所以由余弦定理a2b2c22bccos A，得16b242b2，即b2b120，解得b3或b4(舍去)故ABC的周长Labc4329.因为A(0，)，所以sin A ，所以
10、ABC的面积Sbcsin A32.C组创新应用练1(多选题)(2021河北衡水中学模拟)已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个结论中正确的是()A若，则BB若B，b2，a，则满足条件的三角形共有两个C若a，b，c成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则ABC为等边三角形D若a5，c2，ABC的面积为4，则cos B解析：对于A，由正弦定理可得tan B1，又B(0，)，所以B，故A正确；对于B，由于ba，所以ABC为钝角三角形，满足条件的三角形只有1个，故B错误；对于C，由等差数列的性质，可得ac2b2，得b2ac，由等比数列的性质得sin Asi
11、n Csin2B，得acb2，所以abc，ABC为等边三角形，C正确；对于D，Sacsin B5sin B4，sin B，又，所以B或B，所以cos B或，故D错误答案：AC2(2021云南师范大学附属中学月考)在ABC中，D为AC上一点，且AD2，DC1，BD为ABC的平分线，则ABC面积的最大值为_解析：如图，BD为ABC的角平分线，且AD2，CD1.由角平分线定理知2，令BCm，AB2m，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知1m3.在ABC中，由余弦定理知cosABC，所以SABC2mmsinABCm2m23，当且仅当m219m2，即m时取等号，所以ABC面积的最大值为3.答案：3
12、3(2021山东淄博模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下面给出有关ABC的四个论断：SABC；b2aca2c2；2或；b.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若_，则_(用序号表示)并给出证明过程注：如果选择多个组合分别解答，则按第一个解答计分证明：方案一：若，则.由得b2a2c2ac，则由余弦定理得cos B，即B60.由SABC，得acsin B，又B60，ac2.2或，不妨取2，联立ac2，解得a2，c1，故由余弦定理可得b2a2c2ac4123，解得b.综上，当ABC满足条件时，成立方案二：若，则.推导同方案一，可得b2a2c2a
13、c，ac2.由b，且b2a2c2ac，得a2c2ac3，整理得(ac)2369ac3，(ac)2321ac1，解得或即2或，当ABC满足条件时，成立方案三：若，则.(错误选择，零分)由SABC，得acsin B.2或，不妨取2，代入上式得c2sin B，即sin B.由b，且b2a2c22accos B，2，得5c24c2cos B3，即cos B.由sin2Bcos2B1，得3c410c270，解得c21或，即c1或.当c1时，得a2，此时cos B，则由余弦定理得b2a2c22accos B3，显然b2aca2c2成立，即成立；当c时，得a2，此时cos B，则由余弦定理得b2a2c22accos B3，b2a2c2ac不成立，当ABC满足条件时，不能推出成立方案四：若，则.由得b2a2c2ac，则由余弦定理可得cos B，即B60.由b，且b2a2c2ac，得a2c2ac3.2或，不妨取2，代入a2c2ac3得3c23，解得c1，a2.故ABC的面积SABCacsin B，当ABC满足条件时，成立