1、1981年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)一(本题满分6分)设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A=有理数,B=无理数,试写出:1.AB, 2.AB.解:1.AB=实数,2.AB=二(本题满分6分)在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果:(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果解:1.选举种数P42=12(种)所有可能的选举结果:AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4(种)所有可能的选举结果:ABC、ABD、ACD、BCD三(本题满分8分)下表
2、所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是ABA是B的什么条件1四边形ABCD为平行四边形四边形ABCD为矩形必要条件2a=3|a|=3充分条件3=1500sin=充分条件4点(a,b)在圆x2+y2=R2上a2+b2=R2充要条件解:见上表四(本题满分8分)写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明证二:解析法:以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). Y C b a A O c B X 由两点距离公式得:a2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccos
3、A.五(本题满分10分)解不等式(x为未知数):解:右式=x2(x-a-b-c)0原不等式解是x0,xa+b+c六(本题满分10分)用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立证:略七(本题满分15分)设1980年底我国人口以10亿计算(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.117
4、20lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060解:1.所求人口数x(亿)是等比数列10,101.02,10(1.02)2,的第21项,即x=10(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859(亿)2设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10(1+y%)2012,(1+y%)201.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)lg1.2.即 lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答:略八(本题满分17分) P 1200
5、Q E B A F D C 在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10,1求直线AB和棱a所成的角;2求直线AB和平面Q所成的角解:1.在平面P内作直线ADa于点D;在平面Q内,作直线BEa于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点CABC等于AB和a所成的角ADC为两面角P-a-Q的平面角,ADC=1200又AD=2,BCDE为矩形,CD=BE=4连接AC,由余弦定理得又因ADa,CDa,所以a垂直于ACD所在的平面再由BCa得知BC垂直于ACD所在的平面,BCAC在直角ABC中,2在ACD所在的平面内,作
6、AFCD交CD的延长线于点F因为ACD所在的平面平面Q,AF平面Q在ADF中,ADF=600,AD=2,AF=连结BF,于是ABF是AB和平面Q所成的角,而ABF为直角三角形,所以九(本题满分17分)给定双曲线1过点A(2,1)的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程2过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由解:设直线L的方程为y=k(x-2)+1, (1)将(1)式代入双曲线方程,得:又设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1,x2必须是(
7、2)的两个实根,所以有按题意,因为在直线(1)上,所以再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为这就是所求的轨迹方程2设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得设必须是(3)的两个实根,即如果B是Q1Q2的中点,就有,即,所以有综合起来,k应满足由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(I)无解故满足题设中条件的直线不存在十(附加题,本题满分20分,计入总分)已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图)设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2, u3=a3-a2b+ab2-b3,,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n3)证:通项公式可写成 E D A B F O C uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk=因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=ACBC=CD2=1