1、第三章核心考点精准研析考点一定积分的计算1.|x2-2x|dx=()A.5B.6C.7D.82.(sin x+)dx等于()A.B.+2cos 2C.2+2cos 2D.23.若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S21),则a的值是_.【解析】1.选D.|x2-2x|dx=(x2-2x)dx+=+4+4-=8.2.选D.因为(sin x+)dx=sin xdx+,因为y=sin x为奇函数,所以.又dx表示半圆x2+y2=4(y0)的面积.所以dx=22=2,所以(sin x+)dx=2.3.选
2、B.S1=x2dx=x3=,S2=dx=ln x=ln 2e,所以S2S1S3.4.dx=2xdx+dx=x2+ln x=a2-1+ln a=3+ln 2,所以解得a=2.答案:2题3中,若将“S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,”改为“S1=x2dx,S2=x 3dx,S3=”,试判断S1,S2,S3的大小关系.【解析】由微积分基本定理得S1=x2dx=,S2=x3dx=4,S3=sin xdx=(-cos x)=1-cos 22,则S3 S1 S2.1.运用微积分基本定理求定积分时的注意点(1)被积函数要先化简,再求积分.(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加
3、性”,分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,再求积分.(4)注意用“F(x)=f(x)”检验积分的对错.2.根据定积分的几何意义,可利用面积求定积分.3.函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则有(1)若f(x)为偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数,则f(x)dx=0.【秒杀绝招】图像法解T3,如图,根据定积分的几何意义知,S1,S2,S3分别是函数y=x2,y=,y=ex与x=1,x=2及x轴所围成的面积,显然S2S1S3.考点二应用定积分求平面图形的面积【典例】1.(2019厦门模拟)二次函数f(x)=x2-nx+m(n,mR)
4、的图像如图所示,则定积分f(x)dx=()A.B.C.2D.32.(2019武汉模拟)过坐标原点O作曲线C:y=ex的切线l,则曲线C,直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为()A.-1B.e-1C.e-2D.3.由曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为_.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由函数图像想到求n,m,进而求定积分2由曲线C的切线想到导数的几何意义,借助图形形状设置被积函数3由曲线y=,y=2-x,y=-x想到画图求解【解析】1.选B.由图像可知,n=3,m=2.f(x)dx=(x2-3x+2)dx=-0=.2.选A.根据题意,过坐标原点O作曲线C:y=ex的切线l,
5、设切点为(m,em),y=ex,其导数y=ex,则切线的斜率k=em,则直线l的方程为:y-em=em(x-m),又由直线l经过原点,则有-em=em(-m),所以em(1-m)=0,所以m=1,则直线l的方程为y-e=e(x-1),即y=ex,切点为(1,e);曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积S=-(1-0)=-1.3.方法一:画出草图,如图所示.解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),所以所求图形的面积S=dx+dx=dx+dx=+=+6-9-2+=.答案:方法二:如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴,y=,y=2-x围成的曲边三角形的面积,即S
6、=23-(2-x-)dx=3-=3-=.答案:利用定积分求平面图形面积的四个步骤曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形的面积为()A.B.C.-4ln 2D.-8ln 2【解析】选D.作出曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形如图:由,解得x=1或x=4,所以曲线y=与直线y=5-x围成的平面图形的面积为S=dx=(20-8-4ln 4)-=-8ln 2.考点三定积分在物理中的应用【典例】1.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25lnC
7、.4+25ln 5D.4+50ln 22.设变力 F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到 x=10,已知 F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x 的单位:m;力的单位:N).世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由汽车继续行驶的距离想到积分变量为时间,被积函数为速度2由变力F(x)对质点 M 所做的功想到积分变量为位移,被积函数为力【解析】1.选C.令v(t)=0得,3t2-4t-32=0,解得t=4.汽车的刹车距离是dt=4+25ln 5.2.变力F(x)=x2+1 使质点M沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为:W=
8、F(x)dx=(x2+1)dx=342(J).答案:342定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=v(t)dt.(2)变力做功,一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=F(x)dx.某人吃完饭后散步,在0到3小时内速度与时间的关系为v=t3-3t2+2t(km/h),这3小时内他走过的路程为()A.kmB.kmC.kmD.km【解析】选C.v=t3-3t2+2t的原函数可为F(t)=t4-t3+t2=t2(t-2)2,路程为v(t)dt-v(t)dt+v(t)dt=F(1)-F(0)-F(2)+F(1)+F(3)-F(2)=2F(1)+F(3)=(km).- 8 -