1、一、选择题1(2014岳阳模拟)ABC的顶点A(5，0)、B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是 ()A.1 B.1C.1(x3) D.1(x4)解析：如图|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以2a6，即a3.又因为c5，所以b4，所以方程为1(x3)答案：C2(2014四川卷)已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：设直线AB的方程为xtym
2、，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，由y2tym0，根据韦达定理有y1y2m.2，x1x2y1y22，从而(y1y2)2y1y220，点A，B位于x轴的两侧，y1y22，故m2.不妨令点A在x轴上方，则y10，又F，SABOSAFO2(y1y2)y1y123，当且仅当y1，即y1时，取“”号ABO与AFO面积之和的最小值是3.答案：B3(2015广东卷)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m()A2 B3C4 D9解析：椭圆1的左焦点F1(4，0)，25m216，m3.答案：B4(2015安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()Ax21
3、 B.y21Cx21 D.y21解析：因为将双曲线方程中的“1”变为“0”可得渐近线方程，所以A中，x21的渐近线方程为y2x；B中，y21的渐近线方程为y；C中，x21的渐近线方程为yx；D中，y21的渐近线方程为yx.故选A.答案：A5(2014湖北卷)设a，b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0 B1 C2 D3解析：a，b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根，ab，ab0，过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线为ya2(xa)，即y(ba)xab，即y x.双曲线1的一条
4、渐近线方程为y x，过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为0.答案：A6(2015湖北八校联考)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则p()A2 B4C6 D8解析： OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 圆面积为9， 圆的半径为3.又 圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，3， p4.故选B.答案：B7(2015重庆卷)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作
5、AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(，0)(0，) D(，)(，)解析：由题知F(c，0)，A(a，0)，不妨令B点在第一象限，则B，C，kAB，CDAB，kCD，直线CD的方程为y(xc)由双曲线的对称性，知点D在x轴上，得xDc，点D到直线BC的距离为cxD，aac，b4a2(ca)(ca)a2b2，b2a2，1，又该双曲线的渐近线的斜率为或，双曲线渐近线斜率的取值范围是(1，0)(0，1)选A.答案：A8(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2
6、是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析：若0，则点M在以原点为圆心，半焦距c为半径的圆上，则解得y.所以0点M在圆x2y23的内部yy0.故选A.答案：A9(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6C12 D7解析：由题意得F，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y.联立方程得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x2p12.答案：C10(2015福建卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若
7、|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：取椭圆的左焦点为F，连接BF，由椭圆的对称性知|AF|BF|，由于|AF|BF|4，所以|BF|BF|2a4，即a2.不妨设M(0，b)，由题意得点M到直线l的距离，可得b1，则椭圆E的离心率e，又e(0，1)，所以e，故选A.答案：A11(2014闸北区一模)在平面内，设A，B为两个不同的定点，动点P满足：k2(k为实常数)，则动点P的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D不确定解析：设A(c，0)，B(c，0)(c0)，P(x，y)则(cx，y)，(cx，y)满足：k2(k为实常数)，(cx
8、，y)(cx，y)k2，整理得x2c2y2k2，即x2y2c2k2，故动点P的轨迹是原点为圆心，以为半径的圆答案：A12(2015黄冈模拟)点P是双曲线1(a0，b0)左支上的一点，其右焦点为F(c，0)，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是()A. B(1，8C. D(2，3解析：根据题意设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，则在F1FP中，点M，O(O为坐标原点)分别为PF，F1F的中点，所以|PF1|2|MO|2，即在双曲线的左支上存在P点使|PF1|，同时|PF1|ca，即ca，解得，即e.又e1，所以1b0)的上顶点为B，左焦点F，离心率为.(1
9、)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|MQ|.()求的值；()若|PM|sin BQP，求椭圆的方程解析：(1)设F(c，0)由已知离心率及a2b2c2，可得ac，b2c.又因为B(0，b)，F(c，0)，故直线BF的斜率k2.(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)()由(1)可得椭圆的方程为1，直线BF的方程为y2x2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x25cx0，解得xP.因为BQBP，所以直线BQ的方程为yx2c，与椭圆方程联立，消去y，整
10、理得21x240cx0，解得xQ.又因为，及xM0，可得.()由()有，所以，即|PQ|PM|.又因为|PM|sin BQP，所以|BP|PQ|sin BQP|PM|sin BQP.又因为yP2xP2cc，所以|BP|c，因此c，得c1.所以，椭圆方程为1.14(2015全国卷)已知椭圆C：9x2y2m2 (m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析：(1)设直线l：ykxb(k0，b0
11、)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP，将点的坐标代入l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1，2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OA
12、PB为平行四边形15(2015浙江卷)如图，已知抛物线C1：yx2，圆C2：x2(y1)21，过点P(t，0)(t0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点(1)求点A，B的坐标；(2)求PAB的面积注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点解析：(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为yk(xt)，由消去y，整理得：x24kx4kt0，由于直线PA与抛物线相切，得kt.因此，点A的坐标为(2t，t2)设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线P
13、D对称，故解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|t，和直线PA的方程txyt20.点B到直线PA的距离是d，设PAB的面积为S(t)，所以S(t)|AP|d.16(2015陕西卷)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解析：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)(方法1)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M
14、(2，1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.(方法2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB与x轴不垂
15、直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.17(2015四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，
16、设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB的斜率不存在时，直线AB为直线CD.此时，213.故存在常数1，使得为定值3.18(2015山东卷)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；(
17、)求ABQ面积的最大值解析：(1)由题意知，1，又，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22.故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由()知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.
