1、易错课堂(二)二次函数第二章二次函数类型一忽略二次函数 yax2bxc 中的 a0【例 1】m 为何值时，y(m1)xm23m2 是关于 x 的二次函数？【易错分析】易忽略了 m10 这一隐含条件.解：根据题意，得 m23m22，且 m10.解得 m4.即当 m4 时，y(m1)xm23m2 是关于 x 的二次函数1已知两个变量 x，y 之间的关系式为 y(a2)x2(b2)x3.(1)当时，x，y 之间是二次函数关系；(2)当时，x，y 之间是一次函数关系a2a2且b22已知二次函数 y(m1)x22mxm1.(1)求出函数图象与 x 轴的交点坐标；(可以用含 m 的代数式表示)(2)当 m
2、 为何整数时，函数图象与 x 轴的交点横坐标都为正整数？解：(1)当 m10，即 m1 时，函数 y2x2 与 x 轴的交点为(1，0)；当 m10，即 m1 时，令 y0，则(m1)x22mxm10，b24ac4，x12m22（m1）m1m1 12m1，x22m22（m1）1，该函数图象与 x 轴的交点坐标是(12m1，0)，(1，0)(2)方程的两个根都是正整数，2m1 是正整数，m11 或 2，m2或 3类型二不判断最值是否在顶点处【例 2】在2x4 这个范围内，求二次函数 yx2 的最值【易错分析】当2x4 时，既包含了正数，0，又包含了负数，因此这个范围内函数值 y 随 x 的变化情
3、况要分段研究解：由于2x4 包含了 x0，所以二次函数 yx2 的最小值为 0；当 x2时，y4；而当 x4 时，y16，故二次函数 yx2的最大值为 163已知关于 x 的二次函数 yx2(1a)x1，当 x 的取值范围是 1x3 时，函数值 y 在 x1 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是.4已知抛物线 yx22ax16 的顶点在坐标轴上，则 aa54或05已知二次函数 yx2(2m4)xm24m5(m 是常数，1m5)的图象与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左边)，与 y 轴负半轴交于点 C.(1)求二次函数的图象顶点 Q 的坐标；(2)当3x2 时，函数的最大值为
4、7，求 m 的值.解：(1)yx2(2m4)xm24m5(xm2)29，Q(2m，9)(2)y(xm2)29，抛物线的对称轴为直线 x2m，3220.5，当 2m0.5，即 m2.5 时，根据二次函数的对称性及增减性，当 x2 时，函数有最大值为 7，(2m2)297，解得 m4 或 m4(舍去)；当 2m0.5，即 m2.5 时，根据二次函数的对称性及增减性，当 x3 时，函数有最大值为 7，(3m2)297，解得 m1 或 m9(舍去).综上所述，m4 或 m1类型三在利用二次函数最值解决实际问题时，忽略了自变量的取值范围【例 3】在一面 8 米长的墙边，用 18 米长的篱笆围成两个上相邻
5、的矩形鸡舍(如图)，若用 x 表示垂直于墙的一边长，y 表示两个鸡舍的面积和，求 y 与 x 的函数关系式，并求 y 的最大值【易错分析】易忽略矩形鸡舍的另一边长不能超过墙的长度 8 m，确定 x 的取值范围要考虑这一点解：由题意，得 yx(183x)3x218x3(x3)227.墙长 8 米，0183x8，103 x6.当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，当 x103 时，y 有最大值为803 平方米6近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数 y(辆)与每辆车每天的租金 x(元)满足关系式y 150 x36(500 x1800
6、，且 x 为 50 的整数倍)，公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共 200 元，设租车公司每天的利润为 w 元(1)求 w 与 x 的函数关系式；(利润租金支出)(2)公司在十一黄金周的前 3 天每天都获得了最大利润，但是后 4 天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过 800 元请确定这 7 天公司获得的总利润最多为多少元？解：(1)由题意得 w(x200)y(x200)(150 x36)150 x240 x7200(2)w 150 x240 x7200 150(x1000)212800.150 0，w 有最大值，当 x1000 时，w 有最大值为 12800，由题意可得，后 4
7、 天时 500 x800，当 x1000 时，w 随着 x 的增大而增大，当 x800 时，w 有最大值为 12000，31280041200086400(元)，答：这 7 天公司获得的总利润最多为 86400 元7玩具厂去年生产某种玩具，成本为 10 元/件，出厂价为 12 元/件，年销售量为 2 万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加 0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高 0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加 x 倍(本题中 0 x1).(1)用含 x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为元；(2)求今年这种玩具每件的利润 y(元)与 x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为 w 万元，求当 x 为何值时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少万元？(107x)(126x)解：(2)y(126x)(107x)2x(3)w2(1x)(2x)2x22x42(x0.5)24.5，又20，0 x1，w 有最大值，当 x0.5 时，w 最大值4.5.答：当 x 为 0.5 时，今年的年销售利润最大为 4.5 万元