1、第七章 不 等 式 第二节 一元二次不等式及其解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识梳 理 诊 断 1三个二次之间的关系判别式 b24ac000)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2 或 xx1x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0 等价于(xa)(xb)0，xaxb0 等价于(xa)(xb)0，xaxb0 等价于xaxb0，xb0，xaxb0 等价于xaxb0，x
2、b0.1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式 ax2bxc0.()(2)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1 和 x2.()(3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.()(4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且b24ac0.()(5)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxc0 的解集一定不是空集()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2016全国卷)设集合 Ax|x24x30，则 AB()A.3，32B.3，32
3、C.1，32D.32，3解析 由 x24x30，得(x1)(x3)0，所以 1x0，得 x32.所以 Ax|1x32.所以ABx32x332，3.答案 D3不等式(x1)(2x)0 的解集为()Ax|1x2Bx|x1 或 x2Cx|1x2Dx|x2解析 由(x1)(2x)0 得(x1)(x2)0，解得1x2.故选 A.答案 A4(2016沈阳模拟)不等式x2x10 的解集是()A(，1)(1,2B1,2C(，1)2，)D(1,2解析 由x2x10，得(x1)(x2)0 且 x1，解得10 的解集为1，13，则 ab 的值为()A6B5C6D5解析 因为 ax2bx10 的解集为1，13，所以1
4、，13 是 一 元 二 次 方 程ax2 bx 1 0的 两 根，所 以ba113，1a113.解得a3，b2.故 ab6.选 C.答案 C6若关于 x 的不等式 x2axa0 的解集为 R，则实数a 的取值范围是_解析 因为 x2axa0 的解集为 R，所以(a)24(a)0，解得4a0，Bx|2x4，那么集合(A)B()Ax|1x4Bx|2x3Cx|2x3Dx|1x0 x|x3 或 x1，UAx|1x3，(UA)Bx|1x3x|2x4x|20，则原不等式等价于 4(x2)2，解得 x4；若 x20，则原不等式等价于 4(x2)2，解得 0 x2.所以原不等式的解集是0,2)4，)(3)由3
5、x22x80，得 3x22x80，解得2x43，所以原不等式的解集是2，43.(4)3x12x 13x12x 103x12x2x04x32x04x3x2 0(4x3)(x2)0 且 x2034x2.答案(1)C(2)B(3)2，43 (4)34，2解一元二次不等式的一般步骤考点二 含参数的一元二次不等式的解法 互动型 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10(aR)解 若 a0，则原不等式等价于x11.若 a0 x1.若 a0，则原不等式等价于x1a(x1)1 时，1a1，所以原不等式的解集为x1ax1.当 0a1，所以原不等式的解集为x1x1a.综上所述，当 a0 时，解集为xx1；当 a
6、0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x1x1 时，解集为x1axa2(aR)的解集解 原不等式可化为 12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得 x1a4，x2a3.当 a0 时，不等式的解集为，a4 a3，；当 a0 时，不等式的解集为(，0)(0，)；当 a0 时，不等式的解集为，a3 a4，.考点三 一元二次不等式恒成立问题 共研型 角度 1：f(x)0(xR)确定参数范围(2016河北张家口质检)对于任意实数 x，不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B(，2C(2,2)D(2,2解析 当 a20，
7、即 a2 时，40，恒成立；当 a20 时，则a20，4a2216a20，解得2a2，2m(x21)对满足2m2 的所有 m 都成立，则 x 的范围是_解析 设 f(m)m(x21)(2x1)，则2m2，f(m)0 恒成立所以只需f20，f20，即2x212x10，2x212x10，0；(2)ax2bxc0 对任意实数 x恒成立的条件是a0恒 成 立 fm0，fn0，若f(x)0 恒成立fm0，fn0 的解集为 R，则 m的取值范围是_解析 当 m0 时，10 显然成立当 m0 时，由条件知m0，4m24m0，解得 0m1.由知 0m1.答案 0,1)2角度 2设函数 f(x)mx2mx1.若
8、对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，则 m 的取值范围是_解析 要使 f(x)m5 在1,3上恒成立，即mx12234m60 时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，则 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.综上所述：m 的取值范围是mm0，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1,3上的最小值为67，所以只需 m67即可所以 m 的取值范围是mm0，|a|1 恒成立，则 x 的取值范围是_解析 将原
9、不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x3)ax26x90.令 f(a)(x3)ax26x9.因为 f(a)0 在|a|1 时恒成立，所以若 x3，则 f(a)0，不符合题意，应舍去若 x3，则由一次函数的单调性，可得f10，f10，即x27x120，x25x60，解得 x4.答案(，2)(4，)课 堂归 纳 小 结 方法技巧易错点睛1.在求解一元二次不等式时，一般是把二次项系数 a0 的情况求解2简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解3不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，b24ac0.4不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0
10、，c0或a0，b24ac0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当 0(a0)的解集是 R 还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.名 师微 课 导 学 课题 34：转化与化归思想在解不等式中的应用名师导学：利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则(1)(2016安徽六安一中第四次月考)在区间(1,2)上，不等式 x2mx40 有解，则 m 的取值范围为()Am4Bm5Dm0 恒成立，则实数 a 的取值范围是_切入点 结合二次函数 yx2mx4 图象考虑有解的问题；(2)x1，)，f(x)中只需 x22xa0 即可关键点 等价转化为二次函
11、数问题求解解析(1)记 f(x)x2mx4，则由二次函数的图象知，f(1)0 或 f(2)0 时，不等式 x2mx40 一定有解，即 m50 或 2m80，解得 m5.故选 C.(2)x1，)时，f(x)x22xax0 恒成立，即 x22xa0 恒成立即当 x1 时，a(x22x)g(x)恒成立而 g(x)(x22x)(x1)21 在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故 a3.实数 a 的取值范围是a|a3答案(1)C(2)a|a3本题的解法充分体现了转化与化归思想：不等式有解只需有一个 x 值使不等式成立即可，可选取合理的值代入求解 不等式恒成立则对每一个 x 都使不等式成立，常采
12、用分离参数转化为研究函数的值域的问题 1(2016江苏泰州中学摸底)由命题“存在 xR，使 x22xm0”是假命题，求得 m 的取值范围是(a，)，则实数 a 的值是_解析 存在 xR，使 x22xm0 是假命题，任意 xR，使 x22xm0 是真命题44m1，故 a 的值是 1.答案 12(2016江西七校联考)设不等式 x22axa20 的解集为 M，如果 M1,4，则实数 a 的取值范围是_解析 令 f(x)x22axa2.4a24(a2)4a24a80，1a2，M，满足条件 4a24a80，1a4，f1a32a0，f4187a02a187.综上，a 的取值范围是1，187.答案 1，187请做：课时跟踪训练（三十四）