1、专题课堂(六)二次函数与几何难点突破第二章二次函数类型一二次函数与角度问题1(原创题)如图，直线 y12 x2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.抛物线 y12 x2bxc 经过 A，B 两点，与 x 轴交于另一点 C.(1)求抛物线的表达式；(2)在直线 AB 上方抛物线上取点 D，使得DBA2BAC，求点 D 的坐标解：(1)抛物线的表达式为 y12 x232 x2(2)如图，取点 B 关于 x 轴的对称点 B(0，2)，连接 AB.点 B，B关于 x 轴对称，BAB2BAC，又DBA2BAC，DBABAB，BDAB，设直线 AB的表达式为 ykx2，将 A(4，0)代入得4k2
2、0，解得 k12，直线 AB的表达式为 y12 x2，BDAB，B(0，2)，BD 所在直线的表达式为 y12 x2，联立y12x232x2，y12x2，解得x10，y12或x22，y23，D(2，3)类型二二次函数与线段长或线段和、周长最值问题2(2022桂林)如图，抛物线 yx23x4 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y 轴交于 C 点，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 N，长为 1 的线段PQ(点 P 位于点 Q 的上方)在 x 轴上方的抛物线对称轴上运动(1)直接写出 A，B，C 三点的坐标；(2)求 CPPQQB 的最小值；(3)过点 P 作 PM
3、y 轴于点 M，当CPM 和QBN 相似时，求点 Q 的坐标解：(1)在 yx23x4 中，令 x0 得 y4，令 y0 得 x1 或 x4，A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)(2)将 C(0，4)向下平移至 C，使 CCPQ，连接 BC交抛物线的对称轴 l 于点 Q，如图，CCPQ，CCPQ，四边形 CCQP 是平行四边形，CPCQ，CPPQBQCQPQBQBCPQ，当 B，Q，C共线时，CPPQBQ 最小，最小值为 BCPQ 的值，C(0，4)，CCPQ1，C(0，3)，B(4，0)，BC3242 5，BCPQ516，CPPQBQ 的最小值为 6(3)由 yx23x4 得抛物线对称轴
4、为直线 x32，设 Q(32，t)，则 P(32，t1)，M(0，t1)，N(32，0)，B(4，0)，C(0，4)，BN52，QNt，PM32，CM|t3|，CMPQNB90，要使CPM 和QBN 相似，只需CMQN PMBN或CMBN PMQN.当CMQN PMBN 时，|t3|t3252，解得 t152 或 t158，Q(32，152)或(32，158)；当CMBN PMQN 时，|t3|5232t，解得 t32 62或 t32 62(舍去)，Q(32，32 62)，综上所述，点 Q 的坐标是(32，152)或(32，158)或(32，32 62)类型三二次函数与特殊三角形结合3如图，已
5、知二次函数 yax2bx3 的图象交 x 轴于点 A(1，0)，B(3，0)，交 y 轴于点 C.(1)求这个二次函数的表达式；(2)点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求BCP 面积的最大值；(3)直线 xm 分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N，当BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值解：(1)二次函数的表达式是 yx24x3(2)当 x0 时，y3，即点 C(0，3)，易求得直线 BC 的表达式为 yx3，过点P 作 PEy 轴，交直线 BC 于点 E，设点 E 坐标为(t，t3)，P(t，t24t3)，则 PEt3(t24t3)t23t，SBCPSBPESCPE12(t2
6、3t)332(t32)2278，32 0，当 t32 时，SBCP 最大278(3)当 MNBM 时，m 2 或 m3(舍去)或 m 2；当 BNMN 时，m1 或 m3(舍去)；当 BMBN 时，m2 或 m3(舍去)类型四二次函数与特殊四边形结合4(2022烟台)如图，已知直线 y43 x4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2bxc 经过 A，C 两点，且与 x 轴的另一个交点为 B，对称轴为直线 x1.(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点 D 的横坐标为 m，求四边形 ABCD 面积S 的最大值及此时 D 点的坐标；(3)若点 P
7、在抛物线对称轴上，是否存在点 P，Q，使以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC 为对角线的菱形？若存在，请求出 P，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 x0 时，y4，C(0，4)，当 y0 时，43 x40，x3，A(3，0)，对称轴为直线 x1，B(1，0)，设抛物线的表达式：ya(x1)(x3)，将 C(0，4)代入，得 43a，a43，抛物线的表达式为：y43(x1)(x3)43 x283 x4(2)如图，作 DFAB 于点 F，交 AC 于点 E，D(m，43 m283 m4)，E(m，43 m4)，DE43 m283 m4(43 m4)43 m24m，SADC12 DEOA32(43 m24m)2m26m，SABC12 ABOC12 448，S2m26m82(m32)2252，当 m32 时，S 最大252，当 m32 时，y43(32 1)(32 3)5，D(32，5)(3)设 P(1，n)，以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC 为对角线的菱形，PAPC，即 PA2PC2，(13)2n21(n4)2，n138，P(1，138)，xPxQxAxC，yPyQyAyC，xQ3(1)2，yQ4138 198，Q(2，198)