1、课时作业(三十)1若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为u(2，0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交答案B解析u2a，au，l.2已知l1的方向向量a(2，4，x)，直线l2的方向向量b(2，y，2)，若|a|6，且l1l2，则xy()A3或1 B3或1C3 D1答案A解析|a|6，416x236，x216，x4.又l1l2，ab，ab0.44y2x0.x4时，y3，xy1.x4时，y1，xy3.3设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点M构成的图形是()A圆 B直线C平面 D线段答案C解析M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面4已知(2，2，1)，(
2、4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A(，) B(，)C(，) D(，)答案B解析设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y2，z2.所以n(1，2，2)由于|n|3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是(，)5已知平面内有一个点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1，1) B(1，3，)C(1，3，) D(1，3，)答案B6已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是()A BC D答案C解析22
3、40，APAB，正确；440，APAD，正确；由知是平面ABCD的法向量，正确，不正确7在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1)若向量n与平面ABC垂直，且|n|，则n的坐标为_答案(2，4，1)或(2，4，1)8已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，若侧棱C1C的中点为D，求证：AB1A1D.证明如图所示，设AB中点为O，作OO1AA1，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(，0，1)，C1(0，1)，A(，0，0)，B1(，0，1)，D(0，)(，)，(1，0，1)00.，即AB1A1D.9.如图所示，四
4、棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.证明：A1C平面BB1D1D.证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示ABAA1，OAOBOA11，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)(1，0，1)，(0，2，0)，(1，0，1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，又BDBB1B，A1C平面BB1D1D.10.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.解析如图所示，以D为原点，DA
5、，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，P(0，1，a)，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E(，1，0)，C1(0，1，1)(0，1，0)，(1，1，a1)，(，1，0)，(0，1，1)设平面A1B1P的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则x1(a1)z1，y10.令z11，得x1a1，n1(a1，0，1)设平面C1DE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得x22，z21，n2(2，1，1)平面A1B1P平面C1DE，n1n20，即2(a1)10，得a.当P为CC1的中点时，平面A1B1P平面C1DE.1设l1的
6、方向向量为a(1，2，2)，l2的方向向量为b(2，3，m)，若l1l2，则m()A1B2C. D3答案B2在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(1，0，1)，若a(1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于()A2 B0C1 D无意义答案C解析(1，2，1)(0，1，1)(1，1，0) ，(1，0，1)(0，1，1)(1，1，2) ，又a(1，y，z)为平面ABC的法向量，a，a.a0，a0.y1，y21.3已知A(3，0，1)，B(0，2，6)，C(2，4，2)，则ABC为()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C4已知点A，B，C的坐标分
7、别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若，则点P的坐标为()A(，0，) B(，0，)C(，0，) D(，0，)答案A解析(x，1，z)，(1，1，1)，(2，0，1)，0，0.x，z.5.如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于()A2 B3C4 D6答案A解析如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a，0)设Q(1，x，0)(0xa)P(0，0，z)则(1，x，z)，(1，ax，0)由PQQD，得1x(ax)0，即x2ax10.由题意知方程x2ax10只有一解a240，a2，这时
8、x10，a6.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面答案B解析以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为3，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，3)，A1(3，0，3)，E(1，0，1)，F(2，1，0)，所以(1，1，1)，(3，3，3)，(3，0，3)，(3，3，0)，因为3030，3300，3，所以EFA1D，EFAC，EFBD1.故选B.7若
9、直线l的方向向量e(2，1，m)，平面的法向量n(1，2)，且l，则m_答案4解析平面的法向量即为平面的法线的方向向量，又l，en，即en(0)，即(2，1，m)(1，2)，m4.8在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx1，2cos2x2，0)和点Q(cosx，1，3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_答案或解析由OPOQ，所以0.即(2cosx1)cosx(2cos2x2)(1)0.cosx0或cosx.x0，x或x.9.如图所示，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连接A1B，过A作AFA1B，垂足为F，且AF的延长线交B1B于E.求证：D
10、1B平面AEC.证明根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，E(3，3，)，D1(0，0，4)，(3，3，4)，(0，3，)，(3，3，0)，(3，3，4)(0，3，)0，.(3，3，4)(3，3，0)0，又AEACA，D1B平面AEC.10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明方法一：设a，b，c，则ab0，bc0，ac0.而()c(ab)，ba，()(ab)c，(cab)(ba)c(ba)(ab)(ba)cbca(b2a2)(|b|2|a|2)0.，A1OBD
11、，同理可证.A1OOG.又OGBDO，A1O平面GBD.方法二：如图取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，(1，1，2)，(1，1，0)，(2，0，1)而1100，2020.，即OA1OB，OA1GB.又OBBGB，OA1平面GBD.方法三：同方法二建系后，设平面GBD的一个法向量为n(x，y，z)则令x1，得z2，y1.平面GBD的一个法向量为(1，1，2)显然(1，1，2)n，n，A1O平面GBD.11.如图，在六面体ABCDA1B1
12、C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12.(1)求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)求证：平面A1ACC1平面B1BDD1.证明以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，2)，B1(1，1，2)，C1(0，1，2)，D1(0，0，2)(1)(1，1，0)，(2，2，0)，(1，1，0)，(2，2，0)，2，2.与平行，与平行于是A1C1与AC共面，B1D1与BD共面(2)(0，0，2)(2，2，0)0，(2，2，0)(2，2，0)0，.又DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，AC平面B1BDD1.又AC平面A1ACC1，平面A1ACC1平面B1BDD1.