1、第八节解三角形的实际应用授课提示：对应学生用书第71页基础梳理实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角方位角的范围是0360方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度北偏东m南偏西n坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan 坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比四基自测1(基础点：求高度)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，如图所示，则
2、塔高CB为()A. mB. mC. m D m答案：A2(基础点：方向角)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的北偏西_，西偏北_答案：1080授课提示：对应学生用书第72页考点一测量距离与角度挖掘1测量距离/ 自主练透例1(1)(河两岸可视两点)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，BAC，ACB，则A，B两点间的距离为()A.米B.米C.米 D米解析在ABC中，由正弦定理得，故AB.答案C (2)(河对岸或不可视两点)如图，为了测量河对岸A
3、、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点D可以观察到点A、C；找到一个点E，从点E可以观察到点B、C.并测量得到一些数据：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A、B两点之间的距离为_(其中cos 48.19取近似值)解析依题意知，在ACD中，A30，由正弦定理得AC2.在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.连接AB(图略)，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBC cos ACB10，AB.答案破题技法测量距离问题的解法选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题
4、，再利用正、余弦定理求解提醒：解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量挖掘2测量角度或航向/ 互动探究例2已知海岛B在海岛A北偏东45方向上，A，B相距10海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线AB向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15方向以4海里/小时的速度移动(1)问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离解析(1)如图，设经过x小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与A的距离为102x，乙与A的距离为4x，AD(102x)cos 15cos(4530)，x5(2)经过5
5、(2)小时，物体甲在物体乙的正东方向(2)设经过x小时，甲、乙两物体的距离为d.由余弦定理得cos 60，d228x280x100，0x5.函数y28x280x100的图像的对称轴x(0，5，x时，d最小dmin.破题技法测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每
6、小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为. 考点二测量高度挖掘1同一竖直平面内的高度/自主练透例1如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30，
7、45，且A，B两点之间的距离为10 m，则树的高度h为()A(55)mB(3015)mC(1530)m D(153)m解析在PAB中，由正弦定理，得，因为sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，所以PB5()(m)，所以该树的高度hPBsin 45(55)(m)答案A挖掘2不同竖直平面内的高度/互动探究 例2如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，求山高MN.解析在ABC中，AC100，在MAC中，解得MA100，在MNA中，sin 6
8、0，故MN150，即山高MN为150 m.破题技法求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题考点三解三角形在平面几何中的应用挖掘1与三角形有关的传统文化/自主练透例1(1)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所
9、围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6平方米B9平方米C12平方米 D15平方米解析如图，由题意可得AOB，OA4，在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO42，所以可得矢422，由ADAOsin 42，可得弦2AD224.所以，弧田面积(弦矢矢2)(4222)429平方米，故选B.答案B(2)数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之
10、，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S .现有周长为2的ABC满足sin Asin Bsin C(1)(1)，试用以上给出的公式求得ABC的面积为()A. BC. D解析因为sin Asin Bsin C(1)(1)，所以由正弦定理得abc(1)(1)，又abc2，所以a1，b，c1，则ac211，c2a2b2651，故S ，故选A.答案A挖掘2多边形问题/互动探究例2如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.解析(1)在ABC中，由余弦定理得，AC
11、2AB2BC22ABBCcosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面积SABCABBCsinABC1.(2)设CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA()，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4(sin cos )sin ，整理得sin 2cos .又sin2cos21，故sin ，即sinCAD.破题技法1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来(2020成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB边上取点E，使得BE1，连接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的长解析：(1)在BEC中，由正弦定理，知，因为B，BE1，CE，所以sinBCE.(2)因为CEDB，所以DEABCE，所以cosDEA.因为A，所以AED为直角三角形，又AE5，所以ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED72822()49.所以CD7.