1、第一章 计数原理1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1(1x)13的展开式中系数最小的项为()A第六项B第七项C第八项D第九项解析：展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大由于该二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项答案：C2(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数和是()A2n1 B2n11C2n11 D2n12解析：令x1，可知其各项系数和为2222n2n12.答案：D3已知(12x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(12x)n(1x)展
2、开式中含x2项的系数为()A71 B70 C21 D49解析：因为奇数项的二项式系数和为2n1，所以2n164，n7，因此(12x)n(1x)展开式中含x2项的系数为C(2)2C(2)70.答案：B4已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64B32 C63D31解析：由已知(12)n3n729，解得n6，则CCCCCC2632.答案：B5已知(12x)6a0a1xa2x2a6x6，则|a0|a1|a2|a6|()A1 B1 C36 D26解析：由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零所以|a0|a1|a2|a6|a0a1a2a3a4a5a6.令x1，得a
3、0a1a2a3a4a5a636.所以|a0|a1|a2|a6|36.答案：C二、填空题6(a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8_解析：CCC2n151229，所以n10，所以T8Ca3()7120a.答案：120a7(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a11(x1)11，则a1a2a3a11的值为_解析：令x1，得a02.令x2，得a0a1a2a110.所以a1a2a3a112.答案：28如图所示，满足如下条件：第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似“杨辉三角”则第10行的第2个数是_，第n行的第2个数是_122343477451114115
4、6162525166解析：由图表可知第10行的第2个数为：(1239)146，第n行的第2个数为：123(n1)11.答案：46三、解答题9已知展开式的二项式系数之和为128，求其展开式中含x3项的系数解：展开式的二项式系数之和为128，所以2n128，解得n7.所以展开式的通项公式为Tr1C(2x)7r(1)r27rCx7，令7r3，解得r3.所以展开式中含x3项的系数是(1)324C560.10求(x1)6(x2)7的展开式中x4的系数解：先求(x1)6中x4的系数，它的展开式的通项为Tr1Cx6r(1)r，令6r4，所以r2，所以此时它的展开式中x4的系数是C(1)215.同理得(x2)
5、7的展开式中x4的系数是C(2)3280.所以(x1)6(x2)7的展开式中x4的系数是28015265.B级能力提升1已知展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是()A第19项 B第17项C第17项或第19项 D第18项或第19项解析：T10C()n9Cx9，由T10为常数，得90，所以n36，故第19项系数最大答案：A2记f(m，n)为(1x)6(1y)4展开式中xmyn项的系数，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)_解析：f(3，0)C20，f(2，1)CC60，f(1，2)CC36，f(0，3)C4，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)2060364120.答案：1203已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解：由得Tr1CCx，令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，常数项T5C16.又(a21)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展开式中系数最大项是中间项T3Ca454.解得a.