1、专题课堂(二)利用平移、对称、旋转、待定系数法求二次函数的表达式第二章二次函数类型一二次函数的平移【例 1】已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线 y3x2 都相同，顶点与抛物线 y(x2)2 相同(1)求这条抛物线的表达式；(2)将上面的抛物线向右平移 4 个单位会得到怎样的抛物线表达式？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线表达式解：(1)一条抛物线的开口方向和大小与抛物线 y3x2 都相同，顶点与抛物线y(x2)2 相同，这条抛物线的表达式为：y3(x2)2(2)将抛物线向右平移 4 个单位会得到的抛物线表达式为：y3(x2)2(3)符合此条件的抛
2、物线表达式为：y3(x2)21已知二次函数 y1a(x2)2k 中，函数 y1 与自变量 x 的部分对应值如表：x1234y2125(1)求该二次函数的表达式；(2)将该函数的图象向左平移 2 个单位长度，得到二次函数 y2 的图象，分别在 y1，y2 的图象上取点 A(m，n1)，B(m1，n2)，试比较 n1 与 n2的大小解：(1)y1(x2)21(2)由题意得 y2(x22)21x21，把 A(m，n1)，B(m1，n2)分别代入 y1，y2 的表达式中，n1(m2)21m24m5，n2(m1)21m22m2，n1n2(m24m5)(m22m2)6m3，当6m30 时，m12；当6m3
3、0 时，m12，当 m12 时，n1n20，即 n1n2，当 m12 时，n1n20，即 n1n2，当 m12 时，n1n20，即 n1n2类型二二次函数的对称【例 2】如图所示，已知抛物线 C1，C2 关于 x 轴对称，抛物线 C1，C3 关于 y 轴对称，如果抛物线 C2 的表达式是 y34(x2)22，那么抛物线 C3 的表达式是()A.y34(x2)22By34(x2)22Cy34(x2)22Dy34(x2)22D2在平面直角坐标系中，将二次函数 yx21 的图象 M 沿 x 轴翻折，把所得到的图象向右平移 2 个单位长度后再向上平移 8 个单位长度，得到二次函数图象 N.若一个点的横
4、坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点，则 M 与 N 所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数为()A17B25C16D323与抛物线 yx22x3 关于直线 x2 成轴对称的函数表达式为_y(x3)24B类型三二次函数的旋转【例 3】将抛物线 yx22x3 向右平移 3 个单位，再绕原点 O 旋转 180，求所得抛物线的表达式解：yx22x3(x22x1)13(x1)22，所以抛物线的顶点坐标为(1，2)，向右平移 3 个单位，平移后的抛物线的顶点坐标为(2，2)，再绕原点 O 旋转 180，旋转后的抛物线的顶点坐标为(2，2)，开口反向，所得抛物线表达式为 y(x2)224将二次函数 yx2
5、 的图象绕点(2，1)旋转 180得到的图象满足的表达式为()Ay(x2)21By(x2)21Cy(x4)21Dy(x4)225已知抛物线 y1a(xm)2k 与 y2a(xm)2k(m0)关于原点对称，我们称 y1 与 y2 互为“和谐抛物线”请写出抛物线 y4x26x 7 的“和谐抛物线”_y4x26x7D类型四待定系数法【例 4】如图，ABCD 与抛物线 yx2bxc 相交于点 A，B，D，点 C 在抛物线的对称轴上，已知点 B(1，0)，BC4.(1)求抛物线的表达式；解：B(1，0)，BC4，C(3，0)，即抛物线对称轴为直线 x3，1bc0，b2（1）3，解得b6，c7，抛物线表达
6、式为 yx26x7(2)连接 BD，求 BD 所在直线的函数表达式解：四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC，且 ADBC4，A 与 D 关于对称轴直线 x3 对称，且 AD4，xA1，xD5，把 x5 代入抛物线表达式，得 y12，即 D(5，12)，设 BD 所在直线表达式为 ykxm，把 B 与 D 坐标代入，得5km12，km0，解得k2，m2，则 BD 所在直线的表达式为 y2x26如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数 yx2bxc 的图象经过点 A(3，0)，点 B(0，3)，顶点为 M.(1)求该二次函数的表达式；(2)求OBM 的正切值解：(1)把 A(3，0)，B(0，3)代入 yx2bxc，得93bc0，c3，解得b4，c3，二次函数表达式为 yx24x3(2)作 MHy 轴于点 H，yx24x3(x2)21，M(2，1)，MHy轴，H(0，1)，MH2，BH4，在 RtBMH 中，tan HBMMHBH 24 12，即OBM 的正切值为12