1、第9章核心考点精准研析考点一直线与圆的位置关系1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定2.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为()A.(-,+)B.(-,0)C.(0,+)D.(-,0)(0,+)3.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(tR)的位置关系为世纪金榜导学号()A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为世纪金榜导学号()A.1B.2C.3D.4【解
2、析】1.选B.因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=1,故直线与圆O相交.2.选D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=0或m0.3.选C.直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为12+(-2)2-21+4(-2)=-50)相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则O1的方程为世纪金榜导学号()A.(x-4)2+y2=20B.(x-4)2+y2=50C.(x-5)2+y2=20D.(x-5)2+y2=50【解题导思】序号联想解题1由两
3、圆只有一条公切线联想到两圆相内切2由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称3由两圆相交于A、B,且|AB|=4联想到相交弦的直线方程【解析】1.选D.由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以=2-1,即4a2+b2=1.所以+=(4a2+b2)=5+5+2=9,当且仅当=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=时等号成立,所以+的最小值为9.2.选C.圆M的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=3,故
4、当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为x=3-.3.选C.依题意,得O(0,0),R=,O1(a,0),半径为r,两圆在A点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,|OC|=1,OAO1A,OO1AB,所以由直角三角形射影定理得:|OA|2=|OC|OO1|,即5=1|OO1|,所以|OO1|=5,r=|AO1|=2,由=5,得a=5,所以,圆O1的方程为:(x-5)2+y2=20.1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得
5、到.3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交.(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|dr1+r2,所以圆C1和C2相交.(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x
6、+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为=3,故公共弦长为2=2.考点三直线与圆的综合问题命题精解读考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的性质.怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题.学霸好方法1.圆的切线方程常用结论(1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;(2)切线:已知圆的圆心C,半径为R. 过点P作圆C的切线.条数:若点P在圆内,则无切线;若点P在圆上,则有且只有一条切线;若点P在圆外,则有两条切线;长度:切线长等于.2.直线与圆的位置关系的常用结
7、论(1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|AB|=|xA-xB|=.圆的切线问题【典例】1.已知圆的方程为x2+y2=1,则在y轴上截距为的切线方程为()A.y=x+B.y=-x+C.y=x+或y=-x+D.x=1或y=x+2.(2020惠州模拟)过点A(3,4)作圆C:(x-2)2+(y-3)2=2的切线l,则切线l的方程为_.世纪金榜导学号【解析】1.选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+,则=1,所以k=1,故所求切线方程为y=x+或y=-x+.2.设切线l的方程为y=k
8、x+b,点A(3,4)在切线l上,故4=3k+b.圆C:(x-2)2+(y-3)2=2的圆心(2,3)到切线l的距离d=,可得=,解得k=-1,故b=7,切线l的方程为x+y-7=0.答案:x+y-7=0求圆的切线方程时,应注意什么问题?提示:应注意切线斜率不存在的情况.圆的弦长问题【典例】1.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为世纪金榜导学号()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=02.直线x+y-2
9、=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为_.【解析】1.选B.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=-,综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0.2.因为圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,所以圆心到直线x+y-2=0的距离d=1,所以弦长|AB|=2=2.答案:2圆心到弦的距离如何求?提示:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2.与弦长有关的范
10、围问题【典例】1.若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,则实数m的取值范围为()A.(-1,1-B.-,C.-1,1)D.(1,【解析】选C.y=表示半圆,如图所示:因为直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,d=1,解得m=,m=-(舍去)代入(-1,0)可得0=-1+m,m=1,代入(1,0)可得0=1+m,m=-1,结合图象,综上可得-1m1或m=.2.已知点P是直线x+y+2=0上的动点,过P引圆x2+y2=1的切线,则切线长的最小值为_.世纪金榜导学号【解析】圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,要使切线长最小,则只需要点P到圆心的距离最小.此时最小值为圆心到直线
11、的距离d=,此时切线长的最小值为=1.答案:1解决与弦长有关的参数范围问题,用什么方法最直观?提示:数形结合的方法.1.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则实数b=_.【解析】圆的标准方程即:(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为1,即=1,解得:b=2或b=12.答案:2或122.直线x-y-1=0与圆x2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=_.【解析】根据题意,圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为r=,则圆心到直线x-y-1=0的距离为d=,则|AB|=2=3.答案:31.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的斜率为()A.1B.-1C.D.-【解析】选A.点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1.2.若直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交,则实数k的取值范围为()A.(-2,2)B.C.D.【解析】选D.直线y=k(x+3)化为一般式为:kx-y+3k=0,直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交等价于圆心到直线距离小于半径,即2,所以5k24,所以k.