1、安徽省滁州市定远县育才学校 2021 届高三下学期开学考试数学（文）试题本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.已知集合 012Mxx，221xxPx，则 MP（）A.(,1)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)2.复数241iiizi，则复数 z （）A.12B.22C.52D.323.下图为某地区 2007 年2019 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图根据该折线图，下列结论正确的是（）A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄
2、年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大4.已知1F、2F 是椭圆22143xy的左、右焦点，点 P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆 N，直线ON 与圆 N 交于点Q（点Q 不在椭圆内部），则12QF QF()A.2 3B.4C.3D.15.数列 na是等差数列，11a，且125,a a a 构成公比为 q 的等比数列，则 q （）A.1 或 3B.0 或 2C.3D.26.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果是 1，则判断框内可填入的条件是（）A.6?i B.7?i
3、 C.7?i D.6?i 7.某校早读从 7 点30 分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨 7 点至 7 点30 分之间到校，且二人在该时段的任何时刻都到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的概率为（）A.112B.19C.16D.298.已知函数 2sin0,2fxx，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数 yf x的图象向左平移12 个单位长度后得到函数 g x 的图象，且 g x 为奇函数，则（）A.fx 的图象关于点,06 对称B.fx 的图象关于点,06对称C.fx 在,6 3 上单调递增D.fx 在2,36上单调递增9.设变量 x,y 满足约束条件360,20,30,xyy
4、xy则目标函数 z=y2x 的最小值为（）(A)7(B)4(C)1(D)210.已知1,0Fc、2,0Fc是双曲线2222:1xyC ab的左、右焦点，1F 关于双曲线的一条渐近线的对称点为 P，且点 P 在抛物线24ycx上，则双曲线的离心率为（）A.21B.2C.5D.51211.函数的图像大致为A.AB.BC.CD.D12.已知函数1,(0)()ln2,(0)xxexf xxxx ，若函数 yf xa至多有 2 个零点，则 a 的取值范围是（）A.1,1eB.1,1(1,)eC.11,1eD.1,1e第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
5、)13.已知数列 na的前 n 项和为nS，若22nSnn，若奇函数 yf x对于任意 xR都有110fxfx，且 11f，则20002019f af a _14.已知奇函数()f x 的定义域为 R，且当0 x 时，()ln(13)f xx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线斜率为_.15.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为而的多面体，体现了数学的对称美将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半
6、正多面体为二十四等边体若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外接球的表面积为_16.已知直线、与平面、，则下列命题中正确的是_（填写正确命题对应的序号）.若，则若，则若，则若，则三、解答题(共 6 小题,共 70 分。需给出必要的演算步骤。)17.（本小题满分 12 分）一微商店对某种产品每天的销售量（件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按 30 天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（1）求频率分布直方图中 的值；（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若微商在一天的销售量超过 25 件（包括
7、25 件），则上级商企会给微商赠送 100 元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.18.（本小题满分 12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a2bcosC+csinB（）求 tanB；（）若 C4，ABC 的面积为 6，求 BC19.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥中，平面底面 ABCD，是等边三角形，底面 ABCD 为梯形，且，证明：；求 A 到平面 PBD 的距离20.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，其右顶点为 A，下顶点为 B，定点(0,2)C，ABC的面积为3，过点C 作与 y 轴不重合的直线l
8、交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与 x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数32()(31)48(0)f xaxaxxa（1）讨论 fx 的单调性；（2）若 1,4x，()0f x 恒成立，求 a 的取值范围四、选考题22.已知函数 223xxxf.（1）若2ab，求 f af b的最小值；（2）若2xa，求证：42f xf aa.参考答案1.B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.D 7.D 8.C 9.A10.D 11.B 12.B13.
9、014.34.15.816.17.（1）0.02；（2）22.5；（3）10800 元解：（1）由题意可得（2）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为.（3）根据频率分布直方图，日销售量超过 25 件（包括 25 件）的天数为，可获得的奖励为 900 元，依次可以估计一年内获得的礼金数为元.18.（）tanB2；（）3 2解：（）2a2bcosC+csinB，利用正弦定理可得：2sinA2sinBcosC+sinCsinB，又 sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，化为：2cosBsinB0，tanB2（）tanB2，B（0，），可得 sinB25，cosB15si
10、nAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC22123 10221055absinAsinB，可得：a3 103 221045bb又 12 absin 4 6，可得 b12 2aa3 212 24a，即218a，解得 BCa3 2 19.【解：（1）由余弦定理得，.又平面底面，平面底面，底面，平面，又平面，.（2）设 到平面的距离为取中点，连结,是等边三角形，.又平面底面，平面底面，平面，底面，且，由（）知平面，又平面，.，即21.解得.20.（1）2214xy；（2）是定值，43.解：（1）由已知，,A B 的坐标分别是(,0),(0,)A aBb，由于ABC的面积为3，1(2)3
11、2b a，又由2312cbeaa，化简得2ab，两式联立解得：1b 或3b （舍去），2,1ab，椭圆方程为2214xy；（2）设直线 PQ 的方程为2ykx，,P Q 的坐标分别为 1122,P x yQ xy则直线 BP 的方程为1111yyxx，令0y，得点 M 的横坐标111Mxxy，直线 BQ 的方程为2211yyxx，令0y，得点 N 的横坐标221Nxxy，121212121133MNx xx xxxyykxkx122121239x xk x xk xx，把直线2ykx代入椭圆2214xy得221416120kxkx，由韦达定理得1221214x xk，1221614kxxk 2
12、22221214124891414MNkx xkkkk22212412489363kkk，是定值21.（1）当103a时，fx 的单调递增区间是(,2)和2(,)3a ，单调递减区间是2(2,)3a；当13a 时，fx 在 R 上单调递增；当13a 时，fx 的单调递增区间是2(,)3a和(2,)，单调递减区间是2(,2)3a；（2）1(0,2.解：（1）因为32()(31)48f xaxaxx，所以2()32(31)4(32)(2)fxaxaxaxx.当 223a，即103a时，令 0fx，得2x 或23xa令 0fx，得223xa，所以 fx 的单调递增区间是(,2)和2(,)3a ，单调
13、递减区间是2(2,)3a.当 223a，即13a 时，0fx恒成立，所以 fx 在 R 上单调递增.当 223a，即13a 时，令 0fx，得2x 或23xa令 0fx，得 223xa，所以 fx 的单调递增区间是2(,)3a和(2,)，单调递减区间是2(,2)3a.综上，当103a时，fx 的单调递增区间是(,2)和2(,)3a ，单调递减区间是2(2,)3a；当13a 时，fx 在 R 上单调递增；当13a 时，fx 的单调递增区间是2(,)3a和(2,)，单调递减区间是2(,2)3a.（2）由（1）可知 322fxaxx.当 223a 时，即13a 时，令 0fx，得213xa 或 24
14、x，令 0fx，得 223xa，则 fx 在21,)3a上是增函数，在2(,2)3a上是减函数，在2,4 上是增函数，故 fx 在1,4上有极大值322222(31)483333faaaaaa 224 549127aaa249(61)1027aaa.当4x 时，46416 31168168faaa，令1680a，得12a，故 1132a符合题意.当 223a，即13a 时，0fx，所以 fx 在1,4上是增函数，则 fx 有最大值168(4)8033f，故13a 符合题意.当2243a，即 1163a时，令 0fx，得 12x 或 243xa，令 0fx，得223xa，则 fx 在1,2上是增
15、函数，在2(2,)3a上是减函数，在2(,4)3a上是增函数，故 fx 在 1,4上有极大值 284 31428440faaa，当4x 时，46416 31168168faaa，令1680a，得12a，故 1163a符合题意.当 243a 即106a时，令 0fx，得 12x，令 0fx，得 24x，则 fx 在1,2上是增函数，在2,4 上是减函数，故 fx 在 1,4上有最大值.284 31428440faaa，故106a符合题意.综上，a 的取值范围是1(0,2.22.解：（1）222()()2()6()2262f af bababababab，因为2ab，故2()()622246f af baaaa，当1a 时，()()f af b有最小值 4.（2）2f xf axaxa222244xaaxaa，因为2xa，故 24448xaaa，所以 42f xf aa.