1、函数的单调性与最值授课提示：对应学生用书第273页A组基础保分练1.下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（）A.yB.ycos xC.yln（x1） D.y2x解析：函数y，yln（x1）在（1，1）上都是增函数，函数ycos x在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，而函数y2x在（1，1）上是减函数.答案：D2.函数y有（）A.最小值2 B.最小值C.最大值2 D.最大值解析：易知y，因为（x1）222，所以y.答案：B3.函数f（x）的最大值是（）A. B.C. D.解析：由f（x），则f（x）max.答案：D4.设偶函数f（x）的定义域为R，当x0，）时，f（x）是增函数
2、，则f（2），f（），f（3）的大小关系是（）A.f（）f（3）f（2）B.f（）f（2）f（3）C.f（）f（3）f（2）D.f（）f（2）f（3）解析：因为f（x）是偶函数，所以f（3）f（3），f（2）f（2）.又因为函数f（x）在0，）上是增函数，所以f（）f（3）f（2），即f（）f（3）f（2）.答案：A5.函数f（x）loga（x24x5）（a1）的单调递增区间是（）A.（，2） B.（，1）C.（2，） D.（5，）解析：根据题意，得x24x50，解得x1或x5，设ux24x5（x2）29，易知ux24x5的单调递增区间为（2，），所以f（x）loga（x24x5）的单调递增区
3、间是（5，）.答案：D6.已知函数f（x）log2x，若x1（1，2），x2（2，），则（）A.f（x1）0，f（x2）0 B.f（x1）0，f（x2）0C.f（x1）0，f（x2）0 D.f（x1）0，f（x2）0解析：因为函数f（x）log2x在（1，）上为增函数，且f（2）0，所以当x1（1，2）时，f（x1）f（2）0；当x2（2，）时，f（x2）f（2）0，即f（x1）0，f（x2）0.答案：B7.函数f（x）（x2）的最大值为_.解析：易得f（x）1，当x2时，x10，易知f（x）在2，）上是减函数，f（x）maxf（2）12.答案：28.设函数f（x）若函数yf（x）在区间（a，
4、a1）上是增加的，则实数a的取值范围是_.解析：作出函数f（x）的图像如图所示，由图像可知f（x）在（a，a1）上是增加的，需满足a4或a12，即a1或a4.答案：（，14，）9.已知f（x）（xa）.（1）若a2，试证f（x）在（，2）上单调递增；（2）若a0且f（x）在（1，）上单调递减，求a的取值范围.解析：（1）证明：设x1x22，则f（x1）f（x2）.因为（x12）（x22）0，x1x20，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），所以f（x）在（，2）上单调递增.（2）设1x1x2，则f（x1）f（x2）.因为a0，x2x10，所以要使f（x1）f（x2）0，只需（x1
5、a）（x2a）0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围是（0，1.B组能力提升练1.下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2（0，）时，均有（x1x2）f（x1）f（x2）0”的是（）A.f（x） B.f（x）x24x4C.f（x）2x D.f（x）logx解析：（x1x2）f（x1）f（x2）0等价于x1x2与f（x1）f（x2）正负号相同，故函数f（x）在（0，）上单调递增.显然只有函数f（x）2x符合.答案：C2.已知函数f（x）满足f（x1）f（5x），且对任意的x1，x22，），x1x2，都有0成立，若pf（log216），qf（log47），mf，则p，q，m的大小关系为（）
6、A.qmp B.pmqC.qpm D.pqm解析：f（x1）f（5x），函数f（x）的图像关于直线x2对称.又对任意的x1，x22，），x1x2，都有0成立，f（x）在区间2，）上单调递减，在（，2）上单调递增.log2164，f（log216）f（4）f（0），又1log47log48，01，01log472，pmq.答案：B3.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f（x）（1x）x（2x），x2，2的最大值等于（）A.1 B.1C.6 D.12解析：由已知得当2x1时，f（x）x2，当1x2时，f（x）x32，因为f（x）x2在2，1上是增函数，所以f（x）f（1）1，
7、因为f（x）x32在（1，2上是增函数，所以f（x）f（2）6，所以f（x）maxf（2）6.答案：C4.（2021西安模拟）已知函数ylog2（ax1）在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.（0，1 B.1，2C.1，） D.2，）解析：要使ylog2（ax1）在（1，2）上单调递增，则a0且a10，a1.答案：C5.（2021衡阳模拟）若函数f（x）2xa1a的定义域与值域相同，则a（）A.1 B.1C.0 D.1解析：函数f（x）2xa1a，函数f（x）的定义域为a，）.函数f（x）的定义域与值域相同，函数f（x）的值域为a，）.又函数f（x）在a，）上是单调递增函数，当x
8、a时，f（a）2aa1aa，解得a1.答案：B6.函数yx22|x|3的单调递减区间是_.解析：由题意知，当x0时，yx22x3（x1）24；当x0时，yx22x3（x1）24，二次函数的图像如图所示，由图像可知，函数yx22|x|3的单调递减区间为1，0，1，）.答案：1，0，1，）7.设f（x）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_.解析：因为当x0时，f（x）（xa）2，f（0）是f（x）的最小值，所以a0.当x0时，f（x）xa2a，当且仅当x1时取“”.要满足f（0）是f（x）的最小值，需2af（0）a2，即a2a20，解得1a2，所以a的取值范围是0，2.答案：0，28.
9、已知函数f（x）x2a|x2|4.（1）当a2时，求f（x）在0，3上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间1，）上单调递增，求实数a的取值范围.解析：（1）当a2时，f（x）x22|x2|4当x0，2）时，1f（x）0，当x2，3时，0f（x）7，所以f（x）在0，3上的最大值为7，最小值为1.（2）因为f（x）又f（x）在区间1，）上单调递增，所以当x2时，f（x）单调递增，则2，即a4.当1x2时，f（x）单调递增，则1.即a2，且42a2a442a2a4恒成立，故a的取值范围为4，2.C组创新应用练1.定义运算adbc，若函数f（x）在（，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A.
10、（2，） B.2，）C.（，2） D.（，2解析：adbc，f（x）（x1）（x3）2（x）x24x3（x2）27，f（x）的单调递减区间为（，2），函数f（x）在（，m）上单调递减， （，m）（，2），即m2.答案：D2.如果函数yf（x）在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf（x）是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f（x）x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A.1，） B.0，C.0，1 D.1，解析：因为函数f（x）x2x的对称轴为x1，所以函数yf（x）在区间1，）上是增函数，又当x1时，x1.令g（x）x1（x1），则g
11、（x），由g（x）0得1x，即函数x1在区间1，上单调递减，故“缓增区间”I为1，.答案：D3.已知定义在区间（0，）上的函数f（x）满足ff（x1）f（x2），且当x1时，f（x）0，f（3）1.（1）判断f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式f（3x6）f2；（3）若f（x）m22am1对所有x（0，3，a1，1恒成立，求实数m的取值范围.解析：（1）设x1x20，则1，因为当x1时，f（x）0，所以f（x1）f（x2）f0，所以f（x1）f（x2），所以函数f（x）在区间（0，）上为增函数.（2）在f（x1）f（x2）f中，令x19，x23，所以f（9）f（3）f（3）.又f（3）1，所以f（9）2.所以不等式f（3x6）f2，可转化为f（3x6）ff（9），所以f（3x6）f（9）ff（9x），由函数f（x）为（0，）上的增函数，可得3x69x0，所以0x1，所以原不等式的解集为（0，1）.（3）因为函数f（x）在（0，3上是增函数，所以f（x）在（0，3上的最大值为f（3）1，所以不等式f（x）m22am1对所有x（0，3，a1，1恒成立转化为1m22am1对所有a1，1恒成立，即m22am0对所有a1，1恒成立.设g（a）2mam2，所以需满足即解该不等式组，得m2或m2或m0，即实数m的取值范围为（，202，）.