1、解三角形一、知识点1、正弦定理：。 (其中为的外接圆的半径)正弦定理的变形公式：，；，；2、三角形面积定理：； ； (其中为的内切圆的半径)3、余弦定理：；4、射影定理：，5、设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则。6、三角形解的个数的讨论为锐角为钝角或直角或 两解一解无解一解无解7、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度(几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解。(1)三角形中的边角关系三角形内角和等于；三角形中任意两边之
2、和大于第三边，任意两边之差小于第三边；三角形中大边对大角，小边对小角；(2)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形已知条件应用定理一般方法解的情况一边和两角正弦定理由求第三角，由正弦定理求其它两边一解两边和夹角余弦定理或正弦定理由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，由求第三角一解三边余弦定理由余弦定理求两角，由求第三角一解两边和其中一边的对角正弦定理或余弦定理由正弦定理求另一边的对角，由求第三角，利用正弦定理求第三边由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二次方程的解求，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素两解一解或无解(3)利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法
3、是：化边为角；化角为边.8、三角形中的三角变换(1)角的变换在中，则；，；(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式：， 其中为三角形内切圆半径，为周长之半；(3)在中，熟记并会证明：、成等差数列的充分必要条件是；是正三角形的充分必要条件是、成等差数列且、成等比数列。9、解答三角高考题的策略：(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明
4、两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解。二、例题分析1、三角形形状和解的个数的判断例1-1在中，若， ，则符合条件的三角形的个数为( )。A、 B、 C、 D、不确定【答案】C【解析】解法一：，符合条件的有两个，故选B。解法二：，作出图形，如图所示，可知满足条件的三角形有个，故选C。例1-2若，则的形状为( )。A、等边三角形 B、等腰直角三角形C、有一个角为的直角三角形 D、顶角为的等腰三角形【答案】B【解析】，又，两式相除得，故，为等腰直角三角形，故选B。例1-3
5、已知的内角、成等差数列，且、所对的边分别为、，则下列命题中正确的有 。(把所有正确的命题序号都填上)；若、成等比数列，则为等边三角形；若，则为锐角三角形；若，则；若，则为钝角三角形。【答案】【解析】内角、成等差数列，对，则，又、成等比数列，则，则，又，则为等边三角形，对，满足，为直角三角形，错，则，化简得，又，此时，成立，对，又在中、不能同为钝角，、同为锐角，是锐角三角形，错，填。2、正弦定理的应用例2-1设的内角、所对的边分别为、，若，则的形状为( )。A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定【答案】B【解析】，则，故选B。例2-2在中，( )。A、 B、 C、 D、【答案
6、】C【解析】，又，则，故选C。例2-3在中，角、所对的边分别为、，若，则角的大小为 。【答案】或【解析】，又在中，则，则，或。3、余弦定理的应用例3-1在中，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，则，故选C。例3-2设的内角、所对的边分别为、，若、成等比数列，且，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】中且、成等比数列，则有，又，由余弦定理得，故选C。例3-3已知在中，内角、所对的边分别为、，若的面积为，且，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，即，又，即，则，故选A。4、解三角形实际应用例4-1如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘客船从码头出发匀速驶往
7、河对岸的码头。已知，水流速度为，若客船从码头驶到码头所用的最短时间为，则客船在静水中的速度大小为( )。A、 B、C、 D、【答案】B【解析】设与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为，由题意得，则，由余弦定理得，故选B。例4-2如图，港口在港口正东的海里处，小岛在港口的北偏东的方向上，且在港口的北偏西的方向上。一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东的方向以海里/小时的速度驶离港口。一艘给养快艇从港口沿方向以海里/小时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后以相同的速度送往科学考察船。已知两船同时出发，补给物资装船时间为小时。给养快艇驶离港口后，能和科学考察船相遇的最少时间为 。 【答案】小时【解析】设
8、快艇驶离港口后，最少要经过小时，在上的点处与考察船相遇，如图，连接，则快艇沿线段、航行，在中， 又，故快艇从港口到小岛需要小时，在中，由余弦定理知：，解得或，故快艇驶离港口后，最少要经过小时才能和考察船相遇。例4-3某同学骑电动车以的速度沿正北方向的公路行驶，在点处测得电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处，测得电视塔在电动车的北偏东方向上，则点与电视塔的距离是 。【答案】【解析】，在中，。5、解三角形大题例5-1在中，、分别是角、的对边，且。(1)求的大小；(2)若，求的面积。【解析】(1)在中，由已知得，又，；(2)由余弦定理得：，又，。例5-2如图，中，点在线段上，且，。(1)求的长；(2)求的面积。【解析】(1)，在中，设，由余弦定理得：在和中，由余弦定理可得：，有，由可得，即；(2)由(1)知，则，又，则的面积为，又，的面积为。例5-3在中，角、的对边分别是、，且。(1)求角的大小；(2)求的取值范围。【解析】(1)， ，则，则；(2)，由可知，则，从而，即的取值范围为。
