1、专题训练(四)二次函数的应用第二章 二次函数类型一 二次函数与图形面积问题 1如图，某农场拟用总长为54 m的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙长为40 m)，中间用建筑材料做的墙隔开，每间饲养室开设2 m宽的门，设三间饲养室平行于墙的一边的总长度为x m，总占地面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时三间饲养室的总占地面积最大？最大面积是多少？解：(1)根据题意，得 yx54x23414 x215x(0 x40)(2)y14 x215x14(x30)2225，0 x40，当 x30 时，y 最大值225，当 x30 时三间饲养室的总占地面积最大，最
2、大面积是 225 m2类型二 二次函数与实物抛物线问题 2如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔的水面宽度AB20 m，顶点M距水面6 m(即MO6 m)，小孔顶点N距水面4.5 m(即NC4.5 m).(1)按如图所示的直角坐标系，求大孔对应的抛物线的函数表达式；(2)当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大孔的水面宽度EF.解：(1)设大孔对应的抛物线的函数表达式为 yax26，将点 B(10，0)代入，得a10260，解得 a0.06，y0.06x26(2)当 y0.06x264.5 时，解得 x5，EF5(5)10(m).此时大孔的水面宽度 EF 为
3、 10 m3(2022河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为ya(xh)2k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度(1)求抛物线的表达式；(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m，身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离 解：(1)由题意可知抛物线的顶点为(5，3.2)，可设抛物线的表达式为ya(x5)23.2.将(0，0.7)代入，得0.
4、725a3.2，解得a0.1，抛物线的表达式为y0.1(x5)23.2(2)当y0.1(x5)23.21.6时，解得x1或x9，她与爸爸的水平距离为312(m)或936(m)类型三 二次函数与利润问题(一)在顶点处求最值4某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器的销售单价为60元时，每星期卖出100个如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为y个(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价是多少元时该网店每星期的销售利润是2 400元？(3)当销售单价是多少元时该网店每星期
5、的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题意，得 y1002(x60)，整理，得 y2x220(2)由题意，得(x40)y(x40)(2x220)2 400，解得 x170，x280，当销售单价为 70 元或 80 元时该网店每星期的销售利润为 2 400 元(3)设该网店每星期的销售利润为 W 元，则 W(x40)y(x40)(2x220)2x2300 x8 8002(x75)22 450，当 x75 时，W 最大值2 450，当销售单价是 75 元时该网店每星期的销售利润最大，最大利润是 2 450 元(二)在区间的端点处求最值5某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监
6、督部门规定其售价每千克不高于28元经市场调查发现，山野菜的日销售量y(kg)与每千克的售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？每千克的售价x/元202224日销售量y/kg666054解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx b，则12kb500，14kb400，解得k50，b1 100，y 与 x 之间的函数关系式为 y50 x1 100(2)由题意，得 w(x10)y(x10)(50 x1 100)50 x21 600 x11 00050(
7、x16)21 800，12x15，且 x 为整数，当 x15 时，w 最大值50(1516)21 8001 750，当销售单价为 15 元时每周所获利润最大，最大利润是 1 750元6我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时该公司日获利最大？最大获利是多少元？解：(1)y2x200(30 x60)(2)设该公司日获利
8、为 W 元，由题意，得 W(x30)y450(x30)(2x200)4502x2260 x6 4502(x65)22 000.又30 x60，当 x60 时，W 最大值2(6065)22 0001 950，当销售单价为每千克 60 元时该公司日获利最大，最大获利为 1 950 元(三)在分段函数中求最值7某商场销售一种进价为每件30元的商品，销售过程中发现月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示(1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式；(2)设这种商品的月利润为W(元)，求W与x之间的函数关系式；(3)这种商品的销售单价定为多少元时月利润最大？最大月利润是多少？解：(1)yx1
9、80（40 x60），3x300（60 x90）(2)当 40 x60 时，W(x30)y(x30)(x180)x2210 x5 400；当 60 x90 时，W(x30)y(x30)(3x300)3x2390 x9 000.综上所述，Wx2210 x5 400（40 x60），3x2390 x9 000（60 x90）(3)当 40 x60 时，Wx2210 x5 400(x105)25 625，当 x60 时，W 最大值4525 6253 600；当 60 x90 时，W3x2390 x9 0003(x65)23 675，当 x65 时，W 最大值3 675.3 6753 600，这种商品
10、的销售单价定为 65 元时月利润最大，最大月利润是 3 675 元(四)二次函数与不等式的应用8(2022荆门)某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x(元/个)满足40 x80时，其销售量y(万个)与x之间的关系式为y 110 x9，同时销售过程中的其他开支为50万元(1)求出商场销售这种商品的净利润z(万元)与销售价格x之间的函数关系式，当销售价格x定为多少时净利润最大？最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？解：(1)根据题意，得zy(x30)50(110 x9)(x30)50 110
11、 x212x320 110(x60)240，当x60时，z最大值40，商场销售这种商品的净利润z(万元)与销售价格x之间的函数关系式为z 110 x212x320，当销售价格x定为60元/个时净利润最大，最大净利润是40万元(2)当z 110(x60)24017.5时，解得x145，x275，110 0，当z17.5时，45x75.又y 110 x9中的 110 0，当x45时销售量最大，若净利润预期不低于17.5万元，销售价格x的取值范围为45元/个x75元/个；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为45 元/个(五)二次函数应用中的参数问题9(黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件
12、的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件，其中月销售单价不低于成本设月销售单价为x(单位：元)，月销售量为y(单位：万件)(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)当月销售单价是多少元时月销售利润最大？最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向某山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元，求a的值 解：(1)y5（40 x50），100.1x（50 x100）(2)设月销售利润为z万元，当40 x50时，z(x40)y5x200，当x50时，z最大值5(5040)50；当50 x100时，z(x40)y(x40)(100.1x)0.1x214x4000.1(x70)290，当x70时，z最大值90.5090，当月销售单价是70元时月销售利润最大，最大利润是90万元(3)设月销售利润为w万元，则w(x40a)y(x40a)(100.1x)0.1x2(140.1a)x40010a.x140.1a2（0.1）700.5a70，x70，当x70时，w最大值(7040a)(100.170)78，解得a4，a的值为4