1、专题5第3讲圆锥曲线中的综合问题范围、最值问题授课提示：对应学生用书第50页考情调研考向分析与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考命题的热点，直线与圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关系受一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解.1.直线的斜率的范围2.几何图形面积的范围3.参数的范围.题组练透1(2020恩施质检)在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1(ab0)，左右焦点分别为F1，F2，R为短轴的一个端点，且RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB的斜率都存在，kPAkPB.(1)求a，b的值；(2)设Q为椭圆C上位于x
2、轴上方的一点，且QF1x轴，M、N为曲线C上不同于Q的两点，且MQF1NQF1，设直线MN与y轴交于点D(0，d)，求d的取值范围解析：(1)设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则B(x1，y1)，进一步得，1，1，两个等式相减得，0，所以，所以kPAkPB，因为kPAkPB，所以，即，设bt，a2t(t0)，因为a2b2c2，所以ct，由RF1F2的面积为得，即bc，即t2，t1，所以a2，b.(2)设直线QM的斜率为k，因为MQF1NQF1，所以QM，QN关于直线QF1对称，所以，直线QN的斜率为k，计算得F1(1,0)，Q，所以直线QM的方程是yk(x1)，设M(x3，y3)，N(x4
3、，y4)，由消去y得(34k2)x2(128k)kx(4k212k3)0，所以1x3，所以x3，将上式中的k换成k得，x4，所以kMN，所以直线MN的方程是yxd，代入椭圆方程1得，x2dxd230，所以(d)24(d23)0，所以2d(1)d，所以2d0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)求椭圆M的方程；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解析：(1)因为F(1,0)为椭圆M的焦点，所以c1，又b，所以a2，所以椭圆M的方程为1.(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC的
4、面积相等，即|S1S2|0.当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为yk(x1)(k0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立，且x1x2，x1x2.此时|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|(当且仅当k时，取等号)，所以|S1S2|的最大值为.法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m24)y26my90，0恒成立，且y1y2，故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|，当且仅当m时取等号，所以|S
5、1S2|的最大值为.题后悟通解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化定点、定值问题授课提示：对应学生用书第51页考情调研考向分析圆锥曲线的定点与定值问题是高考命题的热点，无论选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖.1.直线或曲线过定点2.线段的长或几何图形的面积为定值.题组练透1已知椭
6、圆C：1(ab0)，右焦点F的坐标为(2,0)，且点(2，)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)过点F的直线交椭圆于A，B两点(直线不与x轴垂直)，已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标解析：(1)由已知得，解得，椭圆C的标准方程1，椭圆C的离心率e.(2)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，可设PB的直线方程为ykxm，联立方程，整理得(2k21)x24kmx2m280，x1x2，x1x2，kAFkFB，整理得，2kx1x2(m2k)(x1x2)4m0，2k(m2k)4m0，解得m4k，PB的直线方程为ykx4kk(x4)，
7、直线PB恒过定点(4,0)2已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，离心率为，右焦点为F.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C相切于点P(不为椭圆C的左、右顶点)，直线l与直线x2交于点A，直线l与直线x2交于点B，请问AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明解析：(1)因为2a4，所以a2，又e，所以c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率为0时，切点P的坐标为(0,1)或(0，1)，易知此时|AF|2|BF|2|AB|2，即AFB.当直线l的斜率不为0时，设P(x0，y0)，则l的方程为yy01，所以A(2，)，B(2，)，所以kAFkBF1，所以AF与BF互
8、相垂直，(两直线垂直的充要条件为k1k21)所以AFB.综上可知，AFB为定值.题后悟通圆锥曲线中的证明问题的解决方法解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明常用的证明方法有：(1)证A、B、C三点共线，可证kABkAC或.(2)证直线MAMB，可证kMAkMB1或0.(3)证|AB|AC|，可证A点在线段BC的垂直平分线上存在性问题授课提示：对应学生用书第52页考情调研考向分析以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及存在性问题题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1.点、线的
9、存在问题2.参数的存在问题.题组练透1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆相交于C、D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)，由题意可得解得a2，c1，则b2a2c23，故椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在斜率为1的直线l，设为yxm，由(1)知F1，F2的坐标分别为(1,0)，(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2y21，
10、由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d1，得|m|0，解得m27，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|x1x2| |AB|，解得m27，得m.即存在符合条件的直线l，其方程为yx.2已知抛物线C：y2x2，直线l：ykx2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k，使得以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2x2kx20，则x1x2，x1x21，因为M是线段AB的中点，所以M(，2)，又过点M作x轴的垂线交C于点N，所以N(，)因为y2x2，所以y4x，则抛物线C在点N处的切线的斜率为4k，故抛物线C在点N处的切线与AB平行(2)假设存在实数k，使得以AB为直径的圆M经过点N，则|MN|AB|.由(1)知yM2，又MN垂直于x轴，所以|MN|yMyN2.由(1)知，x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2| ，所以，即k412k2640，解得k2.故存在实数k2，使得以AB为直径的圆M经过点N.题后悟通