1、第十节 变化率与导数、定积分与微积分基本定理A组基础对点练1已知曲线yf(x)在点(5，f(5)处的切线方程是yx5，则f(5)与f(5)的值分别为()A5，1 B1，5C1，0 D0，1解析：由题意得f(5)550，f(5)1.答案：D2(2021广东珠海摸底)若函数f(x)x4(2a3)x2，则其图象在点(1，2)处的切线的斜率为()A1 B1C2 D2解析：将点(1，2)代入函数的解析式得212a3，解得a0，所以f(x)x43x2，所以f(x)4x36x，所以所求切线的斜率kf(1)462.答案：D3(2021四川内江模拟)若函数f(x)x3ln xx，则曲线yf(x)在点(1，f(1
2、)处的切线的倾斜角是()A BC D解析：设切线的斜率为k，其倾斜角为.由题可得f(x)x21，因此kf(1)，则tan .又0，则.答案：B4(2020广西桂林质检)定积分(3xex)dx的值为()Ae1 BeCe De解析：(3xex)dxe1e.答案：D5(2021湖北十堰模拟)已知t是常数若(2x2)dx8，则t()A1 B2C2或4 D4解析：由(2x2)dx8得，(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去).答案：D6(2020吉林模拟)已知函数f(x)(x2x1)ex，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay3ex2e By3ex4eCy4ex5e Dy4ex3
3、e解析：f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x)ex，因此f(1)e，f(1)4e，所以所求切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.答案：D7若函数yf(x)上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Ayln x Bysin xCyex Dyx3解析：由题意知，选项ACD中，函数均为定义域上的增函数，在任意点处切线斜率总为正数，不存在切线互相垂直，选项B中，ycos x，x0与x时，切线斜率分别为1，1，切线垂直，具有T性质答案：B8已知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为()Ae BeC D解析：法一：
4、f(x)ln x，x(0，)，f(x).设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率kf(x0)，ln x01，x0e，k.法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)ln x及曲线f(x)ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1.答案：C9若曲线f(x)a cos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0C1 D2解析：依题意得f(x)a sin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即a sin 020b，b0，mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.答案：C10(2021山东潍坊期中)若曲线ymxln x在点(
5、1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m()A1 B0C1 D2解析：由已知得ym.由曲线ymxln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴可知曲线ymxln x在点(1，m)处的切线斜率km10，可得m1.答案：A11(2021四川绵阳诊断)若函数f(x)ln x2x2bx1的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为()A(，4) B(，4C(4，) D(0，4)解析：由f(x)ln x2x2bx1及题意可知f(x)4xb0对x0恒成立，所以b.又4x4，当且仅当x时，4x取得最小值4，所以b4.答案：A12(2021四川成都联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导
6、函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析：由函数f(x)的图象可得函数f(x)的导函数f(x)在0，)上是单调递减的，f(x)在2，3上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2)处的瞬时变化率，大于f(x)在点(3，f(3)处的瞬时变化率，所以0f(3)f(2)，即0f(3)f(3)f(2)f(2).答案：C13(2021哈尔滨师大附中模拟)已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)x ln xx，则曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为_解
7、析：由题设可得，当x0时，f(x)1ln x1ln x，所以由偶函数的对称性可知曲线在点(e，f(e)处的切线的斜率kln e1，切线方程为y0(xe)，即yxe.答案：yxe14(2020广东佛山模拟)如图，由曲线yx2和直线yt2(0t1)，x1，x0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是_解析：设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)(t2x2)dx(x2t2)dxt3t2.由S(t)2t(2t1)0，得t为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)minS.答案：15(2020山东潍坊模拟)若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：f(
8、x)x2axln x的定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号).答案：2，)16已知函数f(x)x(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线l1与在点(e，f(e)处的切线l2互相垂直，则这两条切线与坐标轴围成的四边形的面积为_解析：由题知f(x)1，则切线l1的斜率为f(1)1，f(1)1，切线l2的斜率为f(e)11，f(e)e.因为切线l1与切线l2互相垂直，所以11，解得a，所以f(e)e，则切线l1的方程为y1(x1)，即yx2，切线l2的方程为yexe，即yx.由得两条切线的交点为B.可求得切线l1与
9、y轴交于点C(0，2)，切线l2与x轴交于点A，如图，过点B作y轴的垂线，垂足为D，则两条切线与坐标轴围成的四边形OABC的面积为SBCDS梯形OABD1.答案：1B组素养提升练1(2021江西新余质检)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3C4 D2解析：f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，直线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)图象的切点为(x0，y0)，则m(1m)2m(1m)，得m2.答案：D2已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角
10、，则的取值范围是()A BC D解析：y，y.ex0，ex2，y1，0)，tan 1，0).又0，)，.答案：A3(2020湖南衡阳联考)已知aln b0，cd1，则(ac)2(bd)2的最小值是_解析：设(b，a)是曲线C：yln x上的点，(d，c)是直线l：yx1上的点，则(ac)2(bd)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方对函数yln x求导得y，令y1，得x1，则y0，所以曲线C上到直线yx1的距离最小的点为(1，0)，该点到直线yx1的距离为，因此(ac)2(bd)2的最小值为()22.答案：24(2021广东惠州期末改编)已知函数f(x)ln xax.若曲线yf(x)
11、存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_解析：由题意可得函数f(x)ln xax的定义域为(0，)，且f(x)a.曲线yf(x)存在与直线2xy0平行的切线，方程a2在(0，)上有解，即2a在(0，)上有解，即函数y(x0)与函数y2a的图象有公共点又y0，2a0，解得a2.当直线2xy0与曲线yf(x)相切时，设切点为(x0，2x0)，则有解得x0e，此时a2，不符合题意，故a2且a2，实数a的取值范围是.答案：5已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数).(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x
12、)相切，求直线l的方程解析：(1)f(x)1，因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，所以f(1)10，解得ae.(2)当a1时，f(x)x1，f(x)1.设切点为(x0，y0)，f(x0)x01kx01，f(x0)1k，得x0kx01k，即(k1)(x01)0.若k1，则式无解，x01，k1e.直线l的方程为y(1e)x1.6已知函数f(x)ex(x22xa)(其中aR，a为常数，e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设曲线yf(x)在(a，f(a)处的切线为l，当a1，3时，求直线l在y轴上截距的取值范围解析：(1)f(x)ex(x22xa)ex(2x
13、2)ex(x2a2)，当a2时，f(x)0恒成立，函数f(x)在区间(，)上单调递增；当a2时，f(x)0x22ax或x，函数f(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减(2)f(a)ea(a2a)，f(a)ea(a2a2)，所以直线l的方程为yea(a2a)ea(a2a2)(xa).令x0，得直线l在y轴上的截距为ea(a3a)，记g(a)ea(a3a)(1a3)，则g(a)ea(a33a2a1)，记h(a)a33a2a1(1a3)，则h(a)3a26a10(1a3)，所以h(a)在1，3上单调递减，所以h(a)h(1)20，所以g(a)0，即g(a)在区间1，3上单调递减，所以g(3)g(a)g(1)，即直线l在y轴上截距的取值范围是24e3，0.