1、核心素养测评 五十四圆锥曲线的最值问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知F1,F2分别为椭圆C的两个焦点,P为椭圆上任意一点.若的最大值为3,则椭圆C的离心率为()A.B.C. D.【解析】选B.P点到椭圆C的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,又的最大值为3,所以=3,所以e=.2.直线l是抛物线x2=2y在点(-2,2)处的切线,点P是圆x2-4x+y2=0上的动点,则点P到直线l的距离的最小值等于()A.0B. C.-2D.【解析】选C.抛物线x2=2y,即y=,y=x,在点(-2,2)处的切线斜率为-2,则切线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y
2、+2=0,所以圆心(2,0)到l的距离是=,圆的半径为2,则点P到直线的距离的最小值是-2.3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍然以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长,给出下列式子: a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;c1a2a1c2;a2+c2,所以错误;对于,因为椭圆中的a-c是椭圆上的点到焦点的最小距离,所以a1-c
3、1=a2-c2,所以正确;对于,因为由图可以看出椭圆比的离心率大,所以是错误的,正确.4.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且AFB=(为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,若的最小值为1,则=()A.B.C.D.【解析】选C.如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos .所以=4=44=2-2cos ,当且仅当=,
4、即a=b时等号成立.因为的最小值为1,所以2-2cos =1,解得cos =,所以=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(3,6),圆C2:x2+y2-6x+8=0,过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则|PN|+3|QM|的最小值为_.【解析】由题意,抛物线过点(3,6),得抛物线方程y2=12x,设焦点为F(3,0),圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0),与抛物线焦点重合.半径r=1.由于直线过焦点,所以有+=,又|PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|Q
5、F|+4=3(|PF|+3|QF|)+4=3+416+6.当且仅当|PF|=|QF|时取等号.答案:16+66.已知直线l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,点P在椭圆+y2=1上运动,则PAB面积的最大值为_.【解析】因为l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,所以A(3,0),B(0,3),因此|AB|=3,又点P在椭圆+y2=1上运动,所以可设P(cos ,sin ),所以点P到直线l的距离为d=(其中tan =),所以SPAB=|AB|d.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且长轴长是短轴长的倍.世纪金榜导学号(1)求椭
6、圆的标准方程.(2)设P(2,0),过椭圆左焦点F的直线l交于A、B两点,若对满足条件的任意直线l,不等式(R)恒成立,求的最小值.【解析】(1)依题意,a=b,c=1,a2-b2=c2,解得a2=2,b2=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-2,y1)(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2.当直线l垂直于x轴时,x1=x2=-1,y1=-y2且=,此时=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1),所以=(-3)2-=;当直线l不垂直于x轴时,由题意设直线l:y=k(x+1),由整理得(1+2k2)x2+4k2x+
7、2k2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)-(k2-2)+4+k2=-0),因为|OA|=,所以=,又因为点A在椭圆上,所以+=1,由解得:或所以A的坐标为或,又因为F的坐标为(0,),所以直线AF的方程为y=-x+或y=x+.(2)当A在第一象限时,直线AF:y=-x+,设M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减得+=0,因为MN不过原点,所以=-,即kMNkOP=-,同理:kABkOQ=-,又因为O,P,Q在同一条直线上,所以kOP=kOQ,所以kMN=kAB=-,设直线MN:y=-x+m,由得5x2-2mx+2m2-18=0,由0,得-m.由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=.又因为O到直线MN的距离d=|m|,所以SOMN=|MN|d=|m|=3,当且仅当m2=10-m2,即m=时等号成立,所以OMN的面积的最大值为3,当A在第二象限时,由对称性知,OMN面积的最大值也为3.综上,OMN面积的最大值为3.
