1、川大附中2021届高三上10月月考数学试题(理科)(时间：120分钟 满分：150分)第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D. 2.，则的虚部为（）A. B. C. D. 3.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D. 4.展开式中的系数为（）A. 15B. 16C. 24D. 325.各项均为正数的等比数列中，则的值为（）A. 5B. 3C. 6D. 86.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数的值为（）A. B.C. D. 7.有下列四个条件：，；，；，；是异面直
2、线，.其中能保证直线平面的条件是（）A.B. C.D.8.函数的图象为（）A. B. C. D. 9.九章算术是我国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可用来求两个整数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也”.下列程序框图的算法思路就源于此执行该框图，若输入a，b的值分别为98，63，则输出的a和i的值分别为（）A. 7；6B. 7；7C. 0；6D. 0；710.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C.D.11.定义在上
3、的函数满足：的图象关于对称；对任意的，当时，不等式成立令，则下列不等式成立的是（）A. B. C.D. 12.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D. 第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.13. 已知单位向量满足，则向量夹角的大小为_14. 在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，那么等于_15. 如图，设椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于，两点若的内切圆的面积为，则_16. 设正四面体的棱长为是棱上的任意一点(不与点重合)，且到平面，平面的距离分别是，求的最小值_三、解
4、答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）17. （12分）已知向量，（1）求函数的对称中心；（2）若，求函数的值域18. （12分）苹果可按果径（最大横切面直径，单位：mm）分为五个等级：时为1级，时为2级，时为3级，时为4级，时为5级相同果径的苹果，按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果某果园采摘苹果10000个，果径均在内，从中随机抽取2000个苹果进行统计分析，得到如图1所示的频率分布直方图，图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图（1）假设服从正态分布，其中的近似值为果径的样本平均数（同一组数据用该区间的
5、中点值代替），试估计采摘的10000个苹果中，果径位于区间的苹果个数；（2）已知该果园今年共收获果径在80以上的苹果800kg，且售价为特级果12元/kg，一级果10元/kg，二级果9元/kg.设该果园售出这800kg苹果的收入为，以频率估计概率，求的数学期望附：若随机变量服从正态分布，则，19. （12分）在五边形中，（如图1）将沿折起，使平面平面，线段的中点为（如图2）（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小20.（12分）抛物线的焦点为，斜率为正的直线过点交抛物线于，两点（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形的面积的取值范围21
6、.（12分）设函数，（1）若在区间上存在极值，求实数的取值范围；（2）设，求的最小值；定义：对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“隔离直线”设，试探究与是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）22.选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的圆心的极坐标为，半径（1）求圆的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角的直线交圆于两点，求的值23.选修4-5（
7、不等式选讲）（10分）（1） 设，求证（2）已知，求的最小值川大附中2021届高三上10月月考数学试题（理科）（参考答案）一、选择题：1-5：ADAAC 6-10：DCABD 11-12：AD11. 【答案】A解：由可得f(x)关于y轴对称，所以函数为偶函数，由可得f(x)在x-,0上单调递增，则f(x)在x0,+上单调递减a=2131，0b=log431，0c=log851，b=log43=log23，c=log85=log235，只需比较3与35的大小，由于36=27,356=25，所以0cb1，0cbfbfa，故选A12.【答案】D解：设g(x)=ex(2x-1)，y=ax-a，由题意知
8、存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax-a的下方，g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1)，当x-12时，g(x)-12时，g(x)0，当x=-12时，g(x)取最小值-2e-12，当x=0时，g(0)=-1，当x=1时，g(1)=e0，直线y=ax-a恒过定点(1,0)且斜率为a，故-ag(0)=-1且g(-1)=-3e-1-a-a，解得32ea1，故选D二、 填空题：13.【答案】314.【答案】2715.【答案】10316.【答案】3+22415.【答案】103解：椭圆x225+y216=1中，a=5，c=a2-b2=3，可得椭圆的焦点分别为F1(-3,0)、F2(3
9、,0)，设ABF2的内切圆半径为r，ABF2的内切圆面积为S=r2=，r=1，得|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=20ABF2的面积S=12(|AB|+|AF2|+|BF2|)r=12201=10，又ABF2的面积S=SAF1F2+SBF1F2=12|y1|F1F2|+12|y2|F1F2|=12(|y1|+|y2|)|F1F2|=，3|y2-y1|(A、B在x轴的两侧)3|y2-y1|=10，解之得|y2-y1|=103故答案为10316.【答案】3+224解：过点A作AO平面ABCD于点O，则O为BCD的重心，所以OB=2332
10、26=22，所以AO=262-222=4，又VP-BCD+VP-ACD=VA-BCD，所以13SBCDy+13SACDx=13SBCD4，即x+y=4，所以1x+2y=141x+2yx+y=143+2xy+yx3+224，当且仅当2xy=yx时取等号故答案为3+224三、解答题：17.【答案】解：，由得，函数f(x)的对称中心为，(2)x-4,4，函数的值域为-32,118.【答案】解：(1)x=62.550.03+67.550.05+72.550.06+77.550.04+82.550.02=71.75，所以M服从正态分布N(71.75,35.4)由于35.45.95，从而有P(59.85M
11、77.7)=P(-2Z+)=12P(-2Z+2)+P(-Z+)=0.8186，故采摘的10000个苹果中，果径位于区间(59.85,77.7)的苹果个数约为100000.8186=8186(个).(2)由图2可知，果径在80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果的概率分别为15，12，310，设出售1kg果径在80以上苹果的收入为Y，则Y的分布列为：Y12109P1512310故E(Y)=1215+1012+9310=10.1，又因为X=800Y，所以E(X)=800E(Y)=8080元19.【答案】证明：(1)AB=2CD，O是线段AB的中点，OB=CD，又OB/CD，四边形OBCD为平行四边
12、形，又BCD=90，ABOD，又O是等腰直角EAB斜边上的中点，EOAB，EODO=O，AB平面EOD，AB平面ABE，平面ABE平面EOD解：(2)平面ABE平面ABCD，且EOAB，EO平面ABCD，EOOD，OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，EAB为等腰直角三角形，且设AB=2，CD=BC=1，OA=OB=OD=OE=1，O(0,0，0)，A(-1,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,1，0)，E(0,0，1)，CD=(-1,0，0)，DE=(0,-1,1)，设平面ECD的一个法向量n=(x,
13、y，z)，则nCD=-x=0nDE=-y+z=0，取y=1，得n=(0,1，1)，OD平面ABE，OD=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，则cos=|cos|=|ODn|OD|n|=22，平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小为4520.【答案】解：(1)依题意得F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，由已知m0，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2-4my-4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=-4，因为AF=2FB，所以y1=-2y2，联立和，消去y1，y2，得m=24，又直线AB
14、的斜率大于0，所以直线AB的斜率是22；(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，所以点O与点C到直线AB的距离相等，所以S四边形OACB=2SAOB，因为2SAOB=212|OF|y1-y2|=y1+y22-4y1y2=41+m2，因为l的斜率为正，所以m0，所以四边形OACB面积的取值范围为(4,+)21.【答案】解：(1)Fx=x-bx=x2-bx，当b0时，Fx0，Fx在区间0,1上递增，不存在极值；当b1时，Fx0，Fx在区间0,1上递减，不存在极值；当0b1时，得Fx在区间0,b上单调递减，在区间b,1上单调递增，在x=b处取极小值综上，实数b的取值范围是(0,1)(
15、2)Fx=fx-gx=12x2-elnx，则Fx=x-ex=x2-ex=x-ex+ex，所以当0x0；当xe时，Fx0，因此x=e时，Fx取得最小值0；由知fx与gx的图象在x=e处有公共点e,e2，设fx与gx存在“隔离直线”，方程为y-e2=kx-e，即y=kx+e2-ke，由fxkx+e2-ke在xR上恒成立，则x2-2kx-e+2ke0在xR上恒成立，所以=4k2-42ke-e=4k2-8ke+4e=4k-e20成立，因此k=e下面证明：gxex-e2x0恒成立，设Gx=elnx-xe+e2，则Gx=ex-e=ee-xx，所以当0x0；当xe时，Gx0恒成立，故所求“隔离直线”方程为：
16、y=ex-e222.【答案】解：(1)圆C的圆心为极坐标：C(2,4)，x=2sin4=1，y=2cos4=1，点C直角坐标C(1,1)，半径r=3，圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3，由x=cosy=sin，得圆C的极坐标方程为2-2cos-2sin-1=0;(2)过点P(0,1)且倾斜角=6的直线l交圆C于A，B两点，直线l的参数方程为x=32ty=1+12t，把直线l的参数方程代入圆C：(x-1)2+(y-1)2=3，得(32t-1)2+(12t)2=3，整理，得t2-3t-2=0，t1+t2=3，t1t2=-2，|PA|2+|PB|2=|t1|2+|t2|2=(t1+t2)2-2t1t2=723.【答案】(1)证明：由柯西不等式，可得(a+b)(1a+1b)(a1a+b1b)2=4又a+b=1,所以1a+1b4(2)解：由柯西不等式可知：(x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32)，x2+y2+z2114当且仅当x1=y2=z3时取等号即x2+y2+z2的最小值为114