1、核心素养测评 三十均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m0,则m+3n的最小值等于()A.2B.2C.2D.【解析】选C.因为mn=1,其中m0,所以n0,所以m+3n2=2,当且仅当m=,n=时取等号,所以m+3n的最小值等于2.2.(2020宿州模拟)已知函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于()A.9B.7C.5D.3【解析】选B.因为x-1,所以x+10,所以y=x-4+=x+1+-52-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x
2、+log2y=1,则2x+y的最小值为()A.1B.2C.2D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019温州模拟)若ab0,则的最小值为()A.2B.C.3D.2【解析】选A.因为ab0,所以=+2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为()A.B.2C.D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)=,当且仅当a=b=时取等号.6.(2020滨州模拟)已知a0,b0,4a+b=2
3、,则+的最小值是()A.4B.C.5D.9【解析】选B.因为a0,b0,4a+b=2,所以+=(4a+b)=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是世纪金榜导学号()A.B.2C.D.-【解析】选B.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y0,由y0,x为非负数,当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x0时,y0,x+y0,则x+2y=y+(x+y)2=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品
4、可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(xN*),则当每台机器运转_年时,年平均利润最大,最大值是_万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x0,故18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知ab0,则a2+的最小值是_.世纪金榜导学号【解析】因为ab0,所以b(a-b)=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+a2+=a2+2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:1610.(2019阳泉模拟)函数y=(x1)的最大值为_,此时x
5、的值为_.世纪金榜导学号【解析】函数y=x+1+=(x-1)+2 (x0,b0,则下列不等式中一定成立的是()A.a+b+2B.C.a+bD.(a+b)4【解析】选ACD.因为a0,b0,所以a+b+2+2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A成立;因为a+b20,所以,当且仅当a=b时取等号,所以不一定成立,故B不成立,因为=,当且仅当a=b时取等号,=a+b-2-,当且仅当a=b时取等号,所以,所以a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2+4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)正数a,b满足+=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的
6、取值范围是()A.3,+)B.(-,3C.(-,6D.6,+)【解析】选D.因为a0,b0,+=1,所以a+b=(a+b)=10+16,当且仅当=,即a=4,b=12时取等号.依题意,16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.3.(5分)(2019聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则+的最小值为()A.3B.1C. D.【解析】选B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2
7、+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以=3,所以4a2+b2=9,所以+=+=1.当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为_.世纪金榜导学号【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则+=(x+1)+(y+2)+=,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.答案:5.(5分)(2020朝阳模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且ABC的面积为c,则ab的最小值为_.世纪金榜导学号【解析】在ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,可得cos C=- ,所以sin C=.由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=,代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,因为a2+b22ab,所以-ab2ab,解不等式可得ab48,所以ab的最小值为48.答案:48