1、山东省泰安市2020届高三数学四模试题（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先化简集合B,再求AB得解.详解：由题得，所以.故答案为D点睛：本题主要考查集合和集合的交
2、集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注意集合A和集合B的交集是有限集，不要写成了不等式.2.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以应选答案A3.若向量满足：则A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意易知：即，即.故选B.考点：向量的数量积的应用.4.已知抛物线E：y2=2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得，即可求出的值【详解】
3、解：由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得，故选：B 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题5.已知Sn是等差数列an的前n项和，则“Snnan对n2恒成立”是“a3a4”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式将等价转化为，将等价转化为，由此可得答案.【详解】设等差数列的公差为，当时，因为等价于等价于等价于等价于，等价于等价于，所以等价于，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了充
4、分必要条件的概念，属于基础题.6.函数（且）的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，若实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数是上的奇函数，求出的解析式，画出的图象易得在上单调递增，最后根据的单调性求解不等式即可.【详解】解：当时，因为是定义在上的奇函数，所以，即.因此，做出的图象如下：在上单调递增，又，由得：，解得：.故选：A.【点睛】本题考查解不等式，关键是判断函数的单调性，属于中档题.8.
5、如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接，取的中点，连接，根据异面直线所成角的定义，结合等腰三角形的性质、勾股定理、余弦定理进行求解即可.【详解】如图，连接，取的中点，连接，因为是中点，则，所以（或其补角）就是异面直线所成的角，因为AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，所以,因此有，同理，.故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线与另一条相交
6、，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围是二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.下列说法正确的是（ ）A. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品概率为C. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得=3
7、，=35，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是=0.4x+2.3D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】ABC【解析】【分析】根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念分别进行判断【详解】A由分层抽样，应制取人数为，A正确；B恰好取到1件次品的概率为，B正确；C，直线=0.4x+2.3过中心点，可能是回归直线方程，C正确；D一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D错误故选：ABC【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件
8、与对立事件的概念等知识，要求较高，属于中档题10.已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】构造函数，然后利用导数和已知条件求出在()上单调递减，从而有，据此转化化简后即可得出结论.【详解】设，则，因为()时，所以()时，因此在()上单调递减，所以，即，.故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造函数比较大小，有一定难度.解题关键是构造合适的函数，一般从两方面着手：根据导函数的“形状”变换进行构造；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11.设函数g(x)=sinx(0)向左平移个单位长度得到函数f
9、(x)，已知f(x)在0，2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)的图象关于直线对称B. f(x)在(0，2)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2)上有且只有2个极小值点C. f(x)在上单调递增D. 的取值范围是)【答案】CD【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴可知，不正确；由图可知在上还可能有3个极小值点，不正确；由解得的结果可知，正确；根据在上递增，且，可知正确.【详解】依题意得， ，如图：对于，令，得，所以的图象关于直线对称，故不正确；对于，根据图象可知，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，对于，因为，所以，解得，所以正确；对于，因为，由图可知
10、在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.12.如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将AMB沿直线AM翻折成AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 存在某个位置，使得CNAB1B. CN的长是定值C. 若AB=BM，则AMB1DD. 若AB=BM=1，当三棱锥B1AMD的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4【答案】BD【解析】【分析】中，取中点，连接交与，由题意判断三线，
11、共面共点，得出不成立；中，利用余弦定理可得是定值，判断正确；中，取中点，连接，由题意判断不成立；中，当三棱锥的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可【详解】解：对于：如图1，取中点，连接交与，则，如果，可得到，又，且三线，共面共点，不可能，则错误对于：如图1，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，所以是定值，则正确对于：如图2，取中点，连接，由题意得面，即可得，从而，由题意不成立，可得错误对于：当平面平面时，三棱锥的体积最大，由题意得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是，则正确故选：BD【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判
12、定和性质定理，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24
13、，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.14.的展开式中x3的系数为_【答案】5【解析】【分析】利用二项式定理求解即可.【详解】的通项为令，此时的系数为令，此时的系数为则的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.15.已知函数，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.【详解】根据题意，当时，所以，当时，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.16.已知直线l：3
14、x+4y+m=0，圆C：x2+y24x+2=0，则圆C的半径r=_；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB=90，则实数m的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】按照直线与圆有无交点分两类讨论，有交点时，显然成立，无交点时，转化为过作圆的两条切线的夹角大于等于90，进一步转化为的最小值小于等于2，转化为圆心到直线的距离小于等于2，据此可得答案.【详解】由圆，得，所以圆的半径.当直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y24x+2=0有交点时，显然满足题意，此时，解得，当直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y24x+2=0无交点时，或，“在圆C上存在两
15、点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB=90”等价于“直线上存在点，过作圆的两条切线的夹角大于等于90”，设两个切点为、，则，所以，所以，所以，根据题意可得直线上存在点，使得，等价于，又的最小值为圆心到直线的距离，所以，解得.又或，所以或，由可得实数m的取值范围是.故答案为：；.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，考查了分类讨论思想，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答的面积为在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc=2，cosA=， （1）求
16、a；（2）求的值【答案】（1）不论选哪种条件，a=8（2）【解析】【分析】方案一：选择条件：（1）首先利用向量的加法以及向量的数量积可得，从而可求出、，然后再利用余弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得，再利用同角三角函数的基本关系求出，由二倍角公式以及两角和的余弦公式即可求解. 方案二：选择条件：（1）求出、，再利用余弦定理即可求解.（2）同方案一方案三：选择条件：（1）利用同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可得，求出、，再利用余弦定理即可求解.（2）同方案一.【详解】解：方案一：选择条件：（1） bc=24 由解得或（舍去）a=8 （2） 方案二：选择条件：（1）由解得或（
17、舍去）a=8 （2）同方案一方案三：选择条件：（1）bc=24 由解得或（舍）a=8（2）同方案一.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，考查了考生的计算求解能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点（1）求证：AE平面PBC；（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30【答案】（1）见解析（2）当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30【解析】【分析】（1）证明，推出平面得到证明，得到平面然后证明平
18、面平面（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，求出为平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【详解】解：（1）PA平面ABCD，BC平面ABCDPABCABCD为正方形ABBC 又 PAAB=A，PA，AB平面PABBC平面PABAE平面PABAEBC PA=AB，E为线段PB的中点AEPB又 PBBC=B，PB，BC平面PBCAE平面PBC （2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，
19、1）， 设F（2，0）（02），设平面AEF的一个法向量为则令y1=2，则 设平面PCD的一个法向量为则令y2=1，则平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30，解得=1，当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算19.已知等差数列an的公差d0，a2=7，且a1，a6，5a3成等比数列（1）求数列an通项公式；（2）若数列bn满足，且b1=，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）（2）【解析】
20、【分析】（1）用首项和公差表示出已知条件求得和后可得通项；（2）由累加法求得，即得，再用裂项相消法求得【详解】解：（1）a1，a6，5a3成等比数列整理得或 当时，由解得，满足题意当时，由解得，不合题意， （2）由（1）知，当n2时，当n2时，又，当.【点睛】本题考查等差数列的基本量法求通项公式与前项和，考查累加法求数列通项公式，裂项相消法求数列的和数列通项公式公式求法中累加法、连乘法是对特殊的递推关系适用的方法20.某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：改造前：19，31，22，
21、26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36（1）完成下面的列联表，并判断能否有99的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?超过30不超过30改造前改造后（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，kN*)进行维护生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若生产设
22、备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费经测算，正常维护费为0.5万元次；保障维护费第一次为0.2万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）见解析，有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）见解析；均值
23、为2.275万元.【解析】【分析】（1）根据已知改造前后数据完成列联表，计算，查表与临界值比较大小即可确定；（2）依题意可知，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，一个生产周期内需保障维护的次数服从二项分布.计算出一个生产周期内的正常维护费和保障维护费即可得出一个生产周期内的生产维护费，根据二项分布概率公式可求出分布列及期望.【详解】解：（1）列联表为：超过30不超过30改造前515改造后155有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异. （2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.设一个生产周期内需保障维护的次数为，
24、则；一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元.一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4. 所以，的分布列为22.22.63.24一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元.【点睛】本题考查独立性检验的应用、二项分布及期望，属于中档题.21.已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点()（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由【答案】（1）（2）以线段AB为直径圆恒过定点
25、.【解析】【分析】（1）根据点在双曲线上，求出，由椭圆的左右顶点是双曲线的左右焦点可求出，最后由点也在椭圆上求得.（2）先把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用根据系数的关系得到，两点的横坐标关系.根据圆上任意一点到直径端点的构成的两个向量垂直，即数量积为0，则可求出以线段AB为直径的圆恒过定点.【详解】解：（1）将代入解得，.将代入解得，椭圆的标准方程为：；（2）设，由整理得，法一：由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，是定点必在y轴上.设定点为，则，解得，以线段AB为直径的圆恒过定点 法二：设定点为，则解得，以线段AB为直径的圆恒过定点.【点睛】本题考查椭圆方程、
26、直线与椭圆的位置关系及过定点问题，属于中档题.22.已知函数，是f(x)的导函数（1）证明：当x0时，f(x)0；（2）证明：在()上有且只有3个零点【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，利用单调性可证得不等式成立；（2）转化为证明在上有且只有3个零点，因为0是的一个零点，再根据为奇函数，所以只需证明在上有且只有一个零点，分两种情况证明：当时，利用导数证明，此时无零点，当时，利用导数得到函数为单调函数，再根据零点存在性定理得有且只有一个零点.【详解】（1）证明：令，则，当时，所以在上单调递增，所以当时，所以在上单调递增，又，所以当时，.（2）证明：，令，得，即令，则，是奇函数，且，即0是的一个零点，令，则，当时，所以在上单调递增，令，则在上单调递增，在上单调递减.由（1）知：当时，即，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，所以时，恒成立，即时，恒成立，所以当时，所以当时，恒成立，当时，所以在上增函数，且，所以在上有且只有一个零点，设为，所以，因为是奇函数，所以在上的零点为，所以在上的零点为，所以在上有且只有3个零点.所以在上有且只有3个零点.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了零点存在性定理，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了化归思想，函数与方程思想，考查了函数的奇偶性的应用，属于偏难题.