1、第3章核心考点精准研析考点一导数的计算1.下列求导运算正确的是()A.(sin a)=cos a(a为常数) B.(sin 2x)=2cos 2xC.(cos x)=sin xD.(x-5)=- x-62.函数f(x)=x2+ln x+sin x+1的导函数f(x)=()A.2x+cos x+1B.2x-+cos xC.2x+-cos xD.2x+cos x3.函数f(x)=的导函数f(x)=()A.tan xB.- C.-D.-4.函数f(x)=的导函数f(x)=世纪金榜导学号()A.2B.C.D.5.设f(x)是函数f(x)=+x的导函数,则f(0)的值为_.世纪金榜导学号【解析】1.选B
2、.(sin a)=0(a为常数),(sin 2x)=2cos 2x,(cos x)=-sin x,(x-5)=-5x-6.2.选D.由f(x)=x2+ln x+sin x+1得f(x)=2x+cos x.3.选D.f(x)=-.4.选D.f(x)=()=.5.因为f(x)=+x,所以f(x)=+1=+1,所以f(0)=+1=0.答案:0题2中,若将“f(x)=x2+ln x+sin x+1”改为“f(x)=+”,则f(x)=_.【解析】因为f(x)=+=,所以f(x)=.答案:【秒杀绝招】排除法解T3, 根据sin x=0时f(x)无意义,所以f(x)也无意义排除A,C,cos x=0时f(x
3、)有意义,所以f(x)也应有意义排除B.考点二导数的简单应用【典例】1.若函数f(x)=eax+ln(x+1),f(0)=4,则a=_.2.已知函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)=2xf(e)-ln x,则f(e)=_.3.(2020宝鸡模拟)二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为f(x)=3x-,则f(x)=_.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由f(0)=4,想到求f(x),列方程2由f(e)想到求f(x)并代入x=e3由二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,想到设函数的解析式为f(x)=ax2+bx【解析】1.由f(x)=eax+ln(x+1),得f(x)=
4、aeax+,因为f(0)=4,所以f(0)=a+1=4,所以a=3.答案:32.因为f(x)=2xf(e)-ln x,所以f(x)=2f(e)-,令x=e得:f(e)=2f(e)-,即f(e)=.答案:3.根据题意,二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax2+bx,则有f(x)=2ax+b,又由f(x)=3x-,得2ax+b=3x-,则a=,b=-,故f(x)=x2-x.答案:x2-x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其
5、导数f(x).1.已知f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=x3+fx2-x,则f(1)=()A.-2 B.2 C.-1 D.1【解析】选C.由f(x)=x3+fx2-x,得f(x)=3x2+2fx-1,所以f=+ f-1,所以f=-1,f(x)=x3-x2-x,所以f(1)=13-12-1=-1.2.函数f(x)=ln x+a的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.(0,1)C.(1,)D.(1,)【解析】选A.由函数f(x)=ln x+a可得f(x)=,由于使得f(x0)=f(x0)成立的0x01,则=ln x0+a(0x
6、01,ln x01,故有a1.考点三导数几何意义的运用命题精解读考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.学霸好方法1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线
7、与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).2.利用导数求曲线的切线方程 若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标P(x1, f(x1); 第二步:写出曲线在点P(x1, f(x1)处的切线方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(
8、x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2019全国卷)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为_.【解析】y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以k=y|x=0=3,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.答案:3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么?提示:关键是确定切点坐标.未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为_.【解析】设切点坐标为(x0,
9、y0),则直线l的斜率为f=3+1,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3+1)(0-x0)+x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0= (-2)3+(-2)-16=-26,f=3(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x.答案:y=13x如何从题目条件判断是否知道切点?提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在点处的切线”.求参数的值【典例】(2019全国卷)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()世纪金榜导学号A.a=e,b=
10、-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=aex+xln x,则f(x)=aex+ln x+1,f(1)=ae+1=2,得a=e-1.f(1)=ae=2+b,可得b=-1.切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些?提示:(1)切点处的导数为切线斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.1.已知定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=x3-2x-m,则曲线在点P(2,f(2)处的切线斜率为()A.10B.-10C.4D.与m的取值有关【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=-m =0,所以
11、m =0,即当x0时,f(x)=x3-2x,当x0时,f(x)=-f(-x)= x3-2x,所以当x0时,f(x)=3x2-2,f(2)=322-2=10.2.(2019吉安模拟)已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.若直线与曲线相切于点(x0,y0)(x00),则k=+x0+1,因为y=3x2,所以=3,所以3=+x0+1,所以2-x0-1=0,所以x0=1或x0=-,所以过点P(1,1)与曲线y=x3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,所以共有2条.3.(2020十堰模拟)若直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切
12、,则m=_.【解析】y=x3-2的导数为y=3x2,直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切,设切点为(s,t),可得3s2=12,12s+m=s3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14.答案:14或-181.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选C.因为y=3x2-,故切线的斜率k-,所以切线的倾斜角的取值范围为.2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方程为_.【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切
13、线斜率等于-,即f(3)=-.又g(x)=xf(x),所以g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g(3)=1+3=0,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0.答案:y-3=03.阅读材料:求函数y=ex的导函数.解:因为y=ex,所以x=ln y,所以x=,所以1=y,所以y=y=ex.借助上述思路,曲线y=,x在点(1,1)处的切线方程为_.【解析】因为y=,所以ln y=ln,所以y=ln+,所以y=,当x=1时,y=4,所以曲线y=,x在点(1,1)处的切线方程为y-1=4,即y=4x-3.答案:y=4x-3