1、2014-2015学年安徽省宣城市郎溪中学高一（下）期初数学试卷一选择题（每题5分，共50分）1下列各式：aa0001，33，4，其中正确的有（）A B C D 2函数的图象是（）A B C D 3下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A y=tanxB C y=2xD y=x24x+14设a=log32，b=ln2，c=，则（）A abcB bcaC cabD cba5方程|x22x|=a2+1 （aR+）的解的个数是（）A 1B 2C 3D 46已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（，0）上单调递减，且有f（3）=0，则使得f（x）0的x的范围为（）A （，3）B （3，+）C
2、 （，3）（3，+）D （3，3）7若sincos=，则tan+的值是（）A 2B 2C 2D 8已知函数f（x）=sin（x）（xR），下面结论错误的是（）A 函数f（x）的最小正周期为2B 函数f（x）在区间0，上是增函数C 函数f（x）的图象关于直线x=0对称D 函数f（x）是奇函数9已知锐角，满足：cos=，cos（+）=，则cos（）=（）A B C D 10若O为ABC的内心，且满足（）（+2）=0，则ABC的形状为（）A 等腰三角形B 正三角形C 直角三角形D 以上都不对二、填空题：（每题5分，共25分）11化简的结果是12已知幂函数f（x）=，若f（a1）f（82a），则a的取
3、值范围是13把函数y=cos（x+）的图象向左平移m个单位（m0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值是14在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB=3，BD=1，则=15锐角ABC中：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCtanAtanB1sin2A+sin2B+sin2CsinA+sinB其中一定成立的有（填序号）三、解答题：（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16如图，在AOB中，点A（2，1），B（3，0），点E在射线OB上自O开始向右移动设OE=x，过E作OB的垂线l，记AOB在直线l左边部分的面积为S，试写出S与x的函数关系式，并画出大致的图象17
4、已知函数f（x）=loga（1x）+loga（x+3），其中0a1（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为4，求a的值18在ABC中，（1）求证：a：b：c=sinA：sinB：sinC（2）若a：b：c=3：5：7，求sinA+sinB+sinC19已知函数（）求f（x）的最小正周期：（）求f（x）在区间上的最大值和最小值20如图所示，已知AOB中，点C与点B关于点A对称，=2，DC和OA交于点E，设O=，=（1）用和表示向量，；（2）若=，求实数的值21某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售量将减少m
5、x%（m0）（1）当m=时，求销售额的最大值；（2）若涨价能使销售额增加，求m的取值范围2014-2015学年安徽省宣城市郎溪中学高一（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一选择题（每题5分，共50分）1下列各式：aa0001，33，4，其中正确的有（）A B C D 考点：集合的包含关系判断及应用专题：集合分析：根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项解答：解：任何集合是它本身的子集，正确；空集是任何非空集合的真子集，正确；0表示元素，应为00，错误；13，4，1，3不是3，4的真子集，错误；正确的为故选B点评：考查任何集合和它本身的关系，空集和任何
6、非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义2函数的图象是（）A B C D 考点：函数的图象专题：函数的性质及应用分析：利用函数的奇偶性和单调性以及特殊值进行判断即可解答：解：因为函数是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除A，B当x=1时，y=11=0，所以排除C，选D故选D点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质是解决函数图象的关键3下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A y=tanxB C y=2xD y=x24x+1考点：函数单调性的判断与证明分析：设x1，x2且x1x2，看哪个选项中的f（x1）f（x2）解答：解：对于A选项，设x1，x2且0x1x21
7、，tanx1tanx2，即tanx1tanx20即f（x1）f（x2）=tanx1tanx20y=tanx为增函数样的方法可知，选项B、C、D中的函数均为减函数故答案选A点评：本题主要考查函数的单调性的判断属基础题4设a=log32，b=ln2，c=，则（）A abcB bcaC cabD cba考点：对数值大小的比较；换底公式的应用专题：计算题；转化思想分析：根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系解答：解：a=log32=，b=ln2=，而log23log2e1，所以ab，c=，而，所以ca，综上cab，故选C点评：本小题以指数、对数
8、为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用5方程|x22x|=a2+1 （aR+）的解的个数是（）A 1B 2C 3D 4考点：二次函数的图象；二次函数的性质专题：数形结合分析：根据a为正数，得到a2+11，然后作出y=|x22x|的图象如图所示，根据图象得到y=a2+1的图象与y=|x22x|的图象总有两个交点，得到方程有两解解答：解：aR+a2+11而y=|x22x|的图象如图，y=|x22x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点方程有两解故选B点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数做题
9、时注意利用数形结合的思想方法6已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（，0）上单调递减，且有f（3）=0，则使得f（x）0的x的范围为（）A （，3）B （3，+）C （，3）（3，+）D （3，3）考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：由f（x）为偶函数，f（x）在（，0）上的单调性，可判断f（x）在（0，+）上的单调性，由f（3）=0，可得f（3）=0，从而据题意可作出f（x）的草图，由图象即可解得不等式解答：解：因为f（x）在（，0）上单调递减，又f（x）为R上的偶函数，所以f（x）在（0，+）上单调递增，由f（3）=0可得f（3）=0，作出满足题意的函数f（x）的草图
10、，如图：由图象可得，使得f（x）0的x的范围为（3，3）故选D点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，数形结合解决本题简洁直观，注意体会7若sincos=，则tan+的值是（）A 2B 2C 2D 考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：利用同角三角函数的基本关系化简原式，将条件整体代入即可求出值解答：解：因为sincos=，则tan+=+=2故选B点评：此题比较简单，要求学生灵活运用同角三角函数的基本关系化简求值做题时应注意整体代入求值8已知函数f（x）=sin（x）（xR），下面结论错误的是（）A 函数f（x）的最小正周期为2B 函数f（x）在区间0，上是增函数C 函数f（x
11、）的图象关于直线x=0对称D 函数f（x）是奇函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性专题：常规题型分析：先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D解答：解：y=sin（x）=cosx，T=2，A正确；y=cosx在0，上是减函数，y=cosx在0，上是增函数，B正确；由图象知y=cosx关于直线x=0对称，C正确y=cosx是偶函数，D错误故选D点评：本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性9已知锐角，满足：cos=，cos（+）=，
12、则cos（）=（）A B C D 考点：两角和与差的余弦函数专题：三角函数的求值分析：由同角三角函数基本关系可得sin和sin（+），由两角差的余弦公式可得cos的值，然后再由同角三角函数基本关系和两角差的余弦公式可得解答：解：，为锐角，0+，cos=，cos（+）=，sin=，sin（+）=，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=，sin=，cos（）=coscos+sinsin=故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题10若O为ABC的内心，且满足（）（+2）=0，则ABC的形状为（）A 等腰三角形B 正三角形C 直角三角
13、形D 以上都不对考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用向量的运算法则将等式中的向量 ，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状解答：解：（）（+2）=0，（）（）+（）=0，即（）（）=0，（）=0，（）（）=0，=0，ABC为等腰三角形故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量加减的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，平面向量模的运算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键二、填空题：（每题5分，共25分）11化简的结果是9a考点：有理数指数幂的化简求值专题：计算题分析：利用同底数幂的运算法则：同底
14、数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减解答：解：，=，=9a，故答案为9a点评：本题考查利用同底数幂的运算法则化简代数式12已知幂函数f（x）=，若f（a1）f（82a），则a的取值范围是（3，4）考点：幂函数的性质专题：函数的性质及应用分析：由幂函数f（x）=在0，+）上单调递减，再根据函数的定义域得到关于a的不等式组，从而解得解答：解：幂函数f（x）=在0，+）上单调递减，解得3a4，故答案为：（3，4）点评：本题考查了幂函数的性质，属于基础题13把函数y=cos（x+）的图象向左平移m个单位（m0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值是考点：函数y=Asin（x+
15、）的图象变换；余弦函数的奇偶性专题：计算题；综合题分析：函数y=cos（x+）的图象向左平移m个单位（m0），推出y=cos（x+m），利用它的对称性求出m的最小值解答：解：把函数y=cos（x+）的图象向左平移m个单位（m0），得到图象y=cos（x+m），而此图象关于y轴对称故m的最小值是故答案为：点评：本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，余弦函数的奇偶性，考查分析问题解决问题的能力，是基础题14在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB=3，BD=1，则=考点：向量在几何中的应用专题：计算题；数形结合；转化思想分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量
16、加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值解答：解：AB=3，BD=1，D是BC上的三等分点，=9=，故答案为点评：此题是个中档题考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想15锐角ABC中：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCtanAtanB1sin2A+sin2B+sin2CsinA+sinB其中一定成立的有（填序号）考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：利用锐角ABC这个条件得A+B，结合三角函数的单调性比较sinA与cosB大小即可然后判断的正误；利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），判断
17、出tan（A+B）小于0，然后推出tanAtanB1判断的正误；利用二倍角的余弦函数以及和差化积公式，锐角三角形的角的大小，判断三角函数值的符号，推出结果判断的正误利用特殊角判断的正误；解答：解：对于，ABC是锐角三角形，A+B，AB0sinAsin（B），即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA，sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC所以正确；对于，因为ABC是锐角三角形，且得到tanA0，tanB0，即A，B为锐角，则A+B（，），即C为锐角，所以tan（A+B）=0，得到1tanAtanB0，所以tanAtanB1，所以正确；对于，cos2A+cos2
18、B+cos2C+cos2A+cos2B+cos2C=（cos2A+cos2B）+（cos2B+cos2C）+（cos2A+cos2C）=2cos（A+B）cos（AB）+cos（B+C）cos（BC）+cos（A+C）cos（AC）锐角三角形ABCA+B，C+B，A+CAB，BC，AC所以cos（A+B）0，cos（AB）0 依此cos（A+B）cos（AB）0 同此cos（B+C）cos（BC）0，cos（A+C）cos（AC）0cos2A+cos2B+cos2C=（cos2A+cos2B）+（cos2B+cos2C）+（cos2A+cos2C）=2cos（A+B）cos（AB）+cos（B
19、+C）cos（BC）+cos（A+C）cos（AC）0cos2A+cos2B+cos2C0，可得32sin2A2sin2B3sin2C0，即：sin2A+sin2B+sin2C所以正确对于，当A=B=时，sinA+sinB=，此时三角形是直角三角形，不满足题意，所以不正确故答案为：点评：本题考查锐角三角形的性质，诱导公式、两角和的正切函数、二倍角的余弦函数以及和差化积公式的应用，三角函数的值的符号的判断，以及不等式的基本性质，难度比较大三、解答题：（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16如图，在AOB中，点A（2，1），B（3，0），点E在射线OB上自O开始向右移动设OE=x，
20、过E作OB的垂线l，记AOB在直线l左边部分的面积为S，试写出S与x的函数关系式，并画出大致的图象考点：分段函数的应用专题：函数的性质及应用分析：根据三角形的面积公式结合分段函数的表达式关系进行表示即可得到结论解答：解：当0x2时，OEF的高EF=x，S=xx=x2；当2x3时，BEF的高EF=3x，S=31（3x）（3x）=x2+3x3；当x3时，S=，函数图象如图所示点评：本题主要考查分段函数的表达式的求解，根据三角形的面积公式是解决本题的关键17已知函数f（x）=loga（1x）+loga（x+3），其中0a1（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为4，求a的值考点：
21、对数函数图象与性质的综合应用专题：函数的性质及应用分析：（1）只要使1x0，x+30同时成立即可；（2）先把f（x）化为f（x）=，再由二次函数性质及对数函数的单调性可求出f（x）的最小值，根据最小值为4，列方程解出即可解答：解：（1）要使函数有意义：则有，解得3x1，所以函数f（x）的定义域为（3，1）（2）f（x）=loga（1x）+loga（x+3）=loga（1x）（x+3）=，3x1，0（x+1）2+44，0a1，loga4，即f（x）min=loga4；由loga4=4，得a4=4，a=点评：本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力18在
22、ABC中，（1）求证：a：b：c=sinA：sinB：sinC（2）若a：b：c=3：5：7，求sinA+sinB+sinC考点：正弦定理专题：解三角形分析：（1）作ADBC于D，由AD=csinB=bsinC，可得b：c=sinB：sinC，同理可得：a：b=sinA：sinB，即可得证（2）设a=3x，则b=5x，c=7x，由余弦定理得cosC=，可得，由正弦定理可得sinA+sinB+sinC=解答：解：（1）证明：如图作ADBC于D，则AD=csinB=bsinC，b：c=sinB：sinC，同理：a：b=sinA：sinB，a：b：c=sinA：sinB：sinC（2）解：设a=3x
23、，则b=5x，c=7x，由余弦定理得 ，sinA+sinB+sinC=点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查19已知函数（）求f（x）的最小正周期：（）求f（x）在区间上的最大值和最小值考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期（）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值解答：解：（），=4cosx（）1=sin2x+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
24、，所以函数的最小正周期为；（）x，2x+，当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=时，即x=时，f（x）取得最小值1点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值解题的关键是对函数解析式的化简整理20如图所示，已知AOB中，点C与点B关于点A对称，=2，DC和OA交于点E，设O=，=（1）用和表示向量，；（2）若=，求实数的值考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：（1）由于点C与点B关于点A对称，可得，解得=即可得出（2）由C，E，D三点共线，根据向量共线定理存在实数m使得另一方面=，即可得出解答：解：（1）点C与点B关于点A对称，点A是线段BC的中点，
25、即，解得=+=（2）C，E，D三点共线，存在实数m使得=+又=，解得点评：本题考查了中心对称、向量的平行四边形法则、向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题21某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售量将减少mx%（m0）（1）当m=时，求销售额的最大值；（2）若涨价能使销售额增加，求m的取值范围考点：函数最值的应用专题：应用题；不等式的解法及应用分析：（1）要求当m=时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大，我们要根据已知条件先构造出函数的解析式，然后根据二次函数求最值的方法，求出销
26、售的总金额的最大值（2）由（1）中的解析式，我们易得mx2+100（1m）x+1000010000，解不等式，即可求出m的取值范围解答：解：（1）设产品每吨价格上涨x%时，销售总金额为y元则y=10（1+x%）1000（1mx%）=mx2+100（1m）x+10000当m=时，y=（x50）2+11250，故当x=50时，ymax=11250（元）（2）y=mx2+100（1m）x+10000y=mx2+100（1m）x+1000010000，0x，0，0m1点评：函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一