1、空间的距离一内容归纳a. 知识精讲:(1) 点到直线的距离：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的距离在直角三角形中求出的长即可(2)异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长常用求法先证线段为异面直线的个垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离 （3）点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长体积法（4）直线到平面
2、的距离：只存在于直线和平面平行时为直线上任意一点到平面的距离（5）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面时为一个平面上任意一点到另一个平面的距离（6）以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。二、例题选讲例1、在平面内有，在平面外有点，斜线，且斜线，与平面所成的角相等，点到平面的距离为，且，求点与直线的距离解：如图，过作平面于点，连结，则，分别为，和平面所成的角，从而，又，取的中点，连结，则由于，所以从而线段的长就是点到直线的距离，是在平面上的射影又，由三垂线定理的逆定理，得同理又，四边形是正方形是对角线的
3、中点，在中，即到直线的距离等于思维点拔用三垂线定理或其逆定理作出距离是最常用的方法例2、如图，已知正方体棱长为，求异面直线与的距离（解法供选用）解法一：连结交的中点，取的中点，连结交于，连，则，过作交于，则，又斜线的射影为，同理，为与的公垂线，由于为的中点，故，解法二（转化为线面距）因为平面，平面，故与的距离就是到平面的距离，由，即，得解法三（转化为面面距）易证平面平面，用等体积法易得到平面的距离为，同理可知：到平面的距离为，而，故两平面间距离为MNEO解法四（垂面法）如图，平面，平面，平面平面，故O到平面的距离为斜边上的高。解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点M，作MEBC于E，过E作E
4、NBD交BD于N，易知MN为BD与的公垂线时，MN最小。设BE=，CE=ME=，EN=，MN=。当时，时，。思维点拔以上给出了求异面直线的几种常用方法，要细细体会并记住。例3、线段与平面平行，平面的斜线与平面所成角分别是，且求与平面的距离解：作平面于，作平面于，因为，平面平面，所以，又，所以又因为，所以平面同理，平面所以平面/平面，所以考虑到在的同侧或在的异侧，所以应分两种情形讨论ab（） 如图，当在的同侧时，在内作于点，则已知设，则，所以又在中，, 由得，所以，（） 如图，当在的异侧时，在内作交的延长线于设，则，由得：ACBaDEb故与平面的的距离是或思维点拔在立几中要特别小心这种不同情形的
5、讨论例4、在长方体中中，AB=4，BC=3，CC1=2，（1）求证：平面A1BC1/平面ACD1;（2）求（1）中两个平行平面间的距离解：（1）由于BC1/AD1，则BC1/平面ACD1同理，A1B/平面ACD1，则平面A1BC1/平面ACD1(2)设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面ACD1的距离，易求A1 C1=5，A1B=2，BC1=，则，则，则由于，则，代入求得，即（1）中两个平行平面间的距离等于。例5、点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA面ABCD，Q为线段AP的中点，AB=3，BC=4，PA=2，求（） Q到直线BD的距离。（） 点P到平面BQD的距离解：（1）在平面ABCD内作，E为垂足，连结QE则,算得（2）解法一：由于Q为PA中点，所以点P与点A到平面BQD距离相等在平面AEQ中，作，F为垂足，则面BQD在中，AF=，故点P到平面BQD的距离为解法二：（等积法）根据得点P到平面BQD的距离为课堂小结：. 求各类距离主要还是要熟悉各种解题的方法，并且把它记住，灵活运用。. 注意作证算三个步骤一定要清楚。课外作业能力提高ex7.8 基础强化 ex7.8