1、第5课时独立性及二项分布一、 填空题1. 周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为_答案：0.75解析：记做对第一道题为事件A，做对第二道题为事件B，则P(A)0.80，P(AB)0.60，因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的，所以P(AB)P(A)P(B)，即P(B)0.75.2. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为_答案：解析：事件A：“第一次拿到白球”，事件B：“
2、第二次拿到红球”，则P(A)，P(AB)，故P(B|A).3. 设随机变量XB，则P(X3)_答案：解析：XB，由二项分布可得，P(X3)C.4.甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题，则甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为_答案：解析：设“甲选做D题，且乙、丙都不选做D题”为事件E.甲选做D题的概率为，乙、丙不选做D题的概率都是.则P(E)，即甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率为.5. 一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为_答案：解析：由题意可知该射手对同一目标独立地射击了四次全都没有命中的概率为1，设
3、该射手每次射击命中的概率为p，则(1p)4，所以p.6. 有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有2位同学能通过测试的概率为_答案：解析：记“至少有2位同学能通过测试”为事件A，则其包含的事件为“恰好有2位同学能通过测试”或“恰好有3位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是1，且相互独立，故P(A)CC.7. 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是，两次闭合都出现红灯闪烁的概率为.则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次出现红灯闪烁的概率为_答案：解析：设事件A：第一次闭合后出现
4、红灯闪烁；事件B：第二次闭合出现红灯闪烁则P(A)，P(AB)，故满足条件的P(B|A).8. 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为_答案：0.88解析：因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P1(10.6)(10.7)10.120.88.9. 设随机变量XB(2，p)，B(4，p)若P(X1)，则P(2)的值为_答案：解析：由P(X1)，得Cp(1p)Cp2，即9p218p50，解得p或p(舍去)， P(2)Cp2(1p
5、)2Cp3(1p)Cp464.二、 解答题10. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率；(2) 若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1) 记H至少有一种新产品研发成功，则，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2) 设企业可获利
6、润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X0)P()，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的分布列为X0100120220P11. 某考生从6道预选题中一次性随机的抽取3道题作答，其中4道填空题，2道解答题(1) 求该考生至少抽到1道解答题的概率；(2) 若所抽取的3道题中有2道填空题，1道解答题已知该考生答对每道填空题的概率为，答对每道解答题的概率为，且各题答对与否相互独立用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列和数学期望解：(1) 记该考生至少抽到1道解答题为事件A，则P(A)1P(A)11.(2) X所有的可能取值为
7、0，1，2，3.P(X0)；P(x1)C；P(X2)C；P(X3).所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.12. 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必须且只需从其中选做一题设4名考生选做每一道题的概率均为.(1) 求其中甲、乙两名考生选做同一道题的概率；(2) 设这4名考生中选做第22题的考生个数为X，求X的分布列解：(1) 设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名考生选做同一道题的事件为“AB ”，且事件A与事件B相互独立故P(AB )P(A)P(B)P()P().(2) 随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，且XB，则
8、P(Xk)CC(k0，1，2，3，4)故随机变量X的分布列为X01234P13. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1) 设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2) 若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解：(1) 设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市
9、场价格成本，500101 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，30061 000800.所以X所有可能的取值为4 000，2 000，800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2.则X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2) 设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.384.所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.