1、全国大联考(湖南专用)2006届高三第二次联考数学试卷(理)第卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列函数中是同一函数的是Ay1与yx0 Byx与y Cy2lgx与ylgx2 D y2x12x与y2x2若集合My|yx2，xZ，Nx|x3|6，xR，全集UR，则MUN的真子集个数是A15 B7 C16 D83已知a，b为实数，集合M，1，Na，0，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于A1B0C1D14已知f(x)在区间M上的反函数是其本身，则M可以是A2，2 B2，0 C0，2
2、 D(2，2) 5已知f(x)是R上的增函数，令F(x)f(1x)f(3x)，则F(x)在R上是A增函数B减函数C先增后减D先减后增6已知p：关于x的方程x2ax+40有实根，q：二次函数y2x2ax4在3，)上是增函数，若“p或q”是真命题，而“p且q是假命题”，则a的取值范围是A(12，44，+) B12，44，+) C(，12)(4，4) D12，+)7设a1，实数x，y满足|x|loga0，则y关于x的函数的图象形状大致是O1xyDCO1xyAO1xyBO1xyC8点P是曲线y2ln2x上任意一点，则点P到直线yx的最小距离为AB CD 9设f(x)|2x2|，若0ab1；ba1；ab
3、1；ba1；ab其中可能成立的关系式是 (填序号)15已知n元集合M1，2，n，设M所有的3元子集的元素之和为Sn，则三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤16(本小题满分12分)已知集合Ax|log(xa2)0，Bx|x3|0且f(x)在(1，)内单调增减，求a的取值范围19 (本小题满分14分)某水库进入汛期的水位升高量hn(标高)与进入汛期的天数n的关系是hn20，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？
4、若有危险，将发生在第几天？若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？(参考数据：2.2725.1529，2.3125.3361)20 (本小题满分14分)设f(x)|x1|ax1|若f(1)f(1)，f()f()(aR且a0)，试求a的值；设a0，求f(x)的最小值g(a)关于a的表达式21 (本小题满分14分)定义函数fn(x)(1x)n1，x2，nN，其导函数记为fn(x)求证：fn(x)nx；设，求证：0x00)，则f(x)1，故f(x)在x1处取极小值3ln2，f(x)3ln20，d9A|2a2|2b2|若0ab，则2a22b2ab，矛盾若0ab，则2a2b
5、22a2b24ab2，又ab，ab20ab2若ab，则a22b22ab，矛盾10A关于f(x)的方程有两个重根1或有一根1和一非正根，x1，x2，x3为f(x)1的三个根，三根分别为0，1，2，故511(，1x112f(x)2x，bx6x24x，方程为6x2(b4)x0，方程有两个相等的实根，故b4f(x)13130.9000(e)2，e，0.5000(e)t()t两边取常用对数，lg，t13.114法一：或另外，ab1也可能法二：数形结合15集合M共有个三元子集，其中含1的三元子集有个，同理，含2，3，n的三元子集也各有个，Sn(12n)，16解：对A，由log(xa2)a21，所以Ax|
6、xa214分由ABA知BA对B，当a0时，B符合题意(*)6分当a0时，Bx|3ax3a8分而BA，所以，a213a，解之得2a1，00得1y0，1x0，m0，m1x，当x(1，1)时，1x的取值集合为(0，2)，m2.12分18证明：任设x1x20，x1x20，4分f(x1)f(x2)，6分f(x)在(，2)内单调递增7分解：任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，10分a112分综合知0400，整理得5n26n81，代值验证得n4，会发生危险，在第4天发生4分设每天开启p个水闸泄洪，则f(n)202204np，5分令202204np400，即
7、p5()5()7分下证g(n)为增函数事实上，令g(x)(x1)，g(x)()当x1时，g(x)0，g(x)在x1时为增函数，g(n)为增函数10分g(n)maxg(40)p52.0410.20即每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全答：每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全14分20解：f(1)f(1)，2|a1|1a|，两边平方并整理得|a1|(a1)，a1又f()f()，2|1|1|两边平方并整理得|1|(1)，10，即0，1a0由联立得a15分f(x)的图象是一条折线，它的最小值在图象的转折点处取得当0a1时，1时，1，f(x)g(a)min f()，f(1)min1，1a112分
8、综上所述，g(a)14分21证明：fn(x)nx(1x)n1nx，令g(x)(1x)n1nx，则g(x)n(1x)n11当x(2，0)时，g(x)0，g(x)在(2，0)上递减，在(0，)上递增，故g(x)在x0处取得极(最) 小值g(0)0，g(x)0，即fn(x)nx(当且仅当x0时取等号)3分解：由，得，1x0，x0，易知x00，而x01由知当x0时，(1x)n1nx，故2n1(11)n+11n1n2，x01，0 x00；当x(1，)时，h(x)0故h(x)的图象如右图所示9分下面考察直线ykx(k0)与曲线yh(x)的相交问题 当交点均在，0内时，由得或当10，即k1时，存在满足条件的区间a，b1，0，k的最小值为，此时a，b，011分 当有交点分别在(2，1)和(1，)内时，如图，图象的极小值点为A(，)，过A作直线y与yh(x)的图象交于另一点B，当直线ykx与曲线段BC(点C的坐标为(2，2)有交点时，存在满足条件的区间a，b则b0，2a1，且f(a)f()，令f(x)f()，得x(1x)2(x)2(x)0x，当2a时，存在满足条件的区间a，b由直线的斜率意义可知，当直线ykx经过曲线上的点B(，)时，k取最小值，这时a，b，0，13分综合，得k的最小值为，相应区间a，b14分