1、2014-2015学年天津一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）一选择题：1已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（） A B C 2 D 12若实数x，y满足，则z=2xy的最大值为（） A B C 1 D 23阅读程序框图，若输出S的值为14，则判断框内可填写（） A i6？ B i8？ C i5？ D i7？4下列说法中正确的是（） A “x5”是“x3”必要不充分条件 B 命题“对xR，恒有x2+10”的否定是“xR，使得x2+10” C mR，使函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数 D 设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题5三个实数成等差数列，其首项是9
2、若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列an，那么a3的所有可能取值中最小的是（） A 1 B 4 C 36 D 496已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（） A 5x2=1 B 5x2=1 C =1 D =17如图，在ABC中，已知AB=4，AC=6，BAC=60，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F为DE中点，则的值为（） A 2 B 3 C 4 D 58已知aR，若关于x的方程x2+x|a+|+a2=0没有实根，则a的取值范围是（） A （，1）（，+） B （，）（1，+） C （，1）（1，+）
3、D （，）（，+）二填空题：9某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有名学生10的展开式中，常数项为11某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是cm212在极坐标系中，圆=4cos的圆心到直线sin（+）=4的距离为13如图，ABC内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，BEMN交AC于点E若AB=6，BC=4，则AE的长为14函数g（x）=log2（x0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为三、15（2
4、008安徽）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上的值域16（2013红桥区二模）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖（1）求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；（2）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；（3）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为，求的数学期望17在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆上一点，且满足
5、（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围18（2014河北区三模）如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点（）求证：FG平面PED；（）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由19（2015春天津校级月考）已知数列an的各项均为正值，a1=1，对任意nN*，an+121=4an（an+1），bn=log2（an+1）都成立（1）求数列an、bn的通项公式；（2）令cn=anbn，求数列cn的前n项
6、和Tn；（3）当k7且kN*时，证明对任意nN*，都有成立20（2013绵阳模拟）已知函数f（x）=exx2ax，（aR）（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）如果函数g（x）=f（x）（a）x2恰好有两个不同的极值点x1，x2证明：ln2a2014-2015学年天津一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：1已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（） A B C 2 D 1考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题： 计算题分析： 利用两个复数代数形
7、式的除法法则化简复数z为，再由纯虚数的定义可得2x1=0，且 x+20，由此求得实数x的值解答： 解：= 是纯虚数，2x1=0，且 x+20，x=，故选B点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法法则的应用，属于基础题2若实数x，y满足，则z=2xy的最大值为（） A B C 1 D 2考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2xy的最大值解答： 解：由z=2xy，得y=2xz，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2xz，由平移可知当直线y=2xz，经过点A时，直线y=2xz的截距最小
8、，此时z取得最大值，由，解得，即A（0，1）将A（0，1）的坐标代入z=2xy，得z=0（1）=1，即目标函数z=2xy的最大值为1故选：C点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3阅读程序框图，若输出S的值为14，则判断框内可填写（） A i6？ B i8？ C i5？ D i7？考点： 程序框图 专题： 函数的性质及应用分析： 设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决解答： 解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=2，i=5；第三次执行循环体时，S=7，i=7，第四次执行循环体时，S=14
9、，i=8，所以判断框内可填写“i8？”，故选B点评： 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于基础题4下列说法中正确的是（） A “x5”是“x3”必要不充分条件 B 命题“对xR，恒有x2+10”的否定是“xR，使得x2+10” C mR，使函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数 D 设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题考点： 命题的真假判断与应用 专题： 简易逻辑分析： 必须对选项一一加以判断：对A应用充分必要条件定义解决；对B应用命题的否定确定；对C应用奇函数的定义解决；对D应用真值表判断解答： 解：对A，因为x5可推出x3，所以“x5”是“x3”充分不必要条件，
10、故A错；对B，由全称命题或存在性命题的否定得：B正确；对C，若函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数，则由定义知不存在m，故C错；对D，因为p，q是简单命题，若pq是真命题，则p，q中至少有一个为真，所以pq可真可假，故D错故选：B点评： 本题主要考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件、命题的否定、复合命题的真值表等，注意分析和逻辑推理，是一道基础题5三个实数成等差数列，其首项是9若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列an，那么a3的所有可能取值中最小的是（） A 1 B 4 C 36 D 49考点： 等差数列的性质 专题： 等差数列与等比数列分析： 设出等差数列的3项，结
11、合其第二项加2、第三项加20，得到的三个数依次构成等比数列列式求得d的值，则a3的最小取值可求解答： 解：设三数分别为9，9+d，9+2d，其第二项加2、第三项加20，得到的三个数依次构成等比数列，（9+d+2）2=9（9+2d+20），整理，得（d+11）2=9（2d+29），d2+4d140=0，（d+14）（d10）=0解得：d=14或d=10当d=14时，a3=9+2d+20=928+20=1；d=10时，a3=9+20+20=49a3的取值最小是1故选：A点评： 本题考查了等差数列的性质，考查了等比中项的概念，训练了分类讨论的数学思想方法，属中档题6已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y
12、2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（） A 5x2=1 B 5x2=1 C =1 D =1考点： 双曲线的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出左焦点为F（1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程解答： 解：抛物线方程为y2=4x，2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）双曲线的一个焦点与抛物y2=4x的焦点重合，双曲线的左焦点为F（1，0），设双曲线的方程为（a0，b0），可得a2+b2=1双曲线的离心率等，=，即由联解，得a2
13、=，b2=，该双曲线的方程为5x2=1故选B点评： 本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键7如图，在ABC中，已知AB=4，AC=6，BAC=60，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F为DE中点，则的值为（） A 2 B 3 C 4 D 5考点： 平面向量数量积的运算 专题： 平面向量及应用分析： 可以想着用向量表示，并且可以分别表示成：，而根据条件可以求出，进行数量积的运算便可得出的值解答： 解：由条件：，=；=24+6=4故选：C点评： 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，数量积的运算及其计算公式8已知a
14、R，若关于x的方程x2+x|a+|+a2=0没有实根，则a的取值范围是（） A （，1）（，+） B （，）（1，+） C （，1）（1，+） D （，）（，+）考点： 函数的零点与方程根的关系 专题： 函数的性质及应用分析： 根据韦达定理得到不等式，解出即可解答： 解：若关于x的方程x2+x|a+|+a2=0没有实根，则=14（a2|a+|）0，解得：a1或a，故选：A点评： 本题考查了函数的零点和方程根的关系，是一道基础题二填空题：9某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有37
15、00名学生考点： 分层抽样方法 分析： 由题意知从高三年级抽取的人数，进而由分层抽样中各层的个体数占总体的比例相等，由比例的性质来得到答案解答： 解：由题意知从高三年级抽取的人数为1857560=50人所以该校高中部的总人数为1000=3700（人）故答案为3700点评： 本题考查分层抽样方法，注意分层抽样中根据各层的个体数占总体的比例来确定各层应抽取的样本容量10的展开式中，常数项为14考点： 二项式定理 专题： 计算题分析： 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式中的常数项即可解答： 解：设求的项为Tr+1=C7r（2x3）7r=C7r27rx21frac7r2令
16、21r=0，可得r=6T7=14故答案为：14点评： 本题主要考查了二项式的系数的性质，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题11某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是138cm2考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；由三视图求面积、体积 专题： 空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图得到几何体的结构，进行求解即可解答： 解：由三视图可知该几何体是个组合体，右侧是一个棱长分别为3，4，6的长方体，左侧是个平放的三棱柱，三棱柱的高为3，底面直角三角形的两个直角边为3和4，则长方体的表面积为2（34+36+46）33=1089=99，三棱
17、柱的表面积为35+34+2=39，则几何体的表面积为99+39=138，（cm2）故答案为：138点评： 本题主要考查空间组合体的表面积的计算，根据条件左侧空间几何体的直观图是解决本题的关键12在极坐标系中，圆=4cos的圆心到直线sin（+）=4的距离为3考点： 简单曲线的极坐标方程 专题： 坐标系和参数方程分析： 分别把圆的极坐标方程和直线的极坐标的方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可解答： 解：圆=4cos化为2=4cos，x2+y2=4x，化为（x2）2+y2=4，得到圆心C（2，0）直线l：sin（+）=4展开为，即为x+y8=0圆心C（2，0）到直线的距离d=3故答案
18、为：3点评： 本题考查了极坐标的方程化成直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题13如图，ABC内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，BEMN交AC于点E若AB=6，BC=4，则AE的长为考点： 与圆有关的比例线段 专题： 压轴题；选作题；直线与圆分析： 利用弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质即可得出解答： 解：直线MN切O于点C，MCB=BAC，BEMN交AC于点E，MCB=EBCABCBCE，=点评： 熟练掌握弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键14函数g（x）=log2（x0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实
19、数解，则实数m的取值范围为m考点： 根的存在性及根的个数判断 专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 可判断函数y=在（0，+）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，从而可得|g（x）|=0或0|g（x）|1，0|g（x）|1或|g（x）|1；从而解得解答： 解：当x0时，02，且函数y=在（0，+）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，且y1；故若关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则|g（x）|=0或0|g（x）|1，0|g（x）|1或|g（x）|1；若|g（x）|=0，则2m+3=0，故m=；故|g（x）|=0或|g（x）|=，不
20、成立；故0|g（x）|1或|g（x）|1；故，解得，m；故答案为：m点评： 本题考查了复合函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题三、15（2008安徽）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上的值域考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性 专题： 三角函数的图像与性质分析： （1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程（2）先根据x的范围求出2x的范围，再由正弦函数的单调性可求出最
21、小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域解答： 解：（1）=sin2x+（sinxcosx）（sinx+cosx）=周期T=由函数图象的对称轴方程为（2），因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为点评： 本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质最小正周期、对称性、和单调性考查对基础知识的掌握情况16（2013红桥区二模）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖（1）求从中任意抽取2张，均得到一
22、等奖奖券的概率；（2）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；（3）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为，求的数学期望考点： 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 专题： 概率与统计分析： （1）利用古典概型的概率公式可求；（2）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（3）确定的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望解答： 解：（1）由题意，从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率=；（2）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率=；（3）的取值为0，1，2，3，则P（=0）=；P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=的分布列为 0 1 2
23、 3 P E=0+1+2+3=点评： 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题17在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题： 综合题；向量与圆锥曲线分析： （）由离心率e=及a2=b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而
24、求得a；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P的坐标，代入椭圆方程得36k2=t2（1+4k2），由弦长公式及可得，故，联立可求得t的范围；解答： 解：（），a2=4b2，则椭圆方程为，即x2+4y2=4b2设N（x，y），则=，当y=1时，|NQ|有最大值为，解得b2=1，a2=4，椭圆方程是；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x3），由，整理得（1+4k2）x224k2x+36k24=0由=242k416（9k21）（1+4k2）0
25、，得，则，由点P在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2），又由，即，将x1+x2，x1x2代入得，化简得（8k21）（16k2+13）0，则，由，得，联立，解得3t24，或点评： 本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强18（2014河北区三模）如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点（）求证：FG平面PED；（）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60？若存在，求出
26、线段PM的长；若不存在，请说明理由考点： 直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法 专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；（）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；（）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为60转化为两向量所成的角为60，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论解答： （）证明：因为F，G
27、分别为PB，BE的中点，所以FGPE又FG平面PED，PE平面PED，所以FG平面PED（）解：因为EA平面ABCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD，PDCD又因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD如图建立空间直角坐标系，因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）所以，设为平面FGH的一个法向量，则，即，再令y1=1，得，设为平面PBC的一个法向量，则，即，令z2=1，得所以=所以平面FGH与平面PB
28、C所成锐二面角的大小为（）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60依题意可设，其中01由，则又因为，所以又直线FM与直线PA成60角，所以，即，解得：所以，所以，在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60，此时PM的长为点评： 本题考查了线面平行的判定，考查了线线角和面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题19（2015春天津校级月考）已知数列an的各项均为正值，a1=1，对任意nN*，an+121=4an（an+1），bn=log2（
29、an+1）都成立（1）求数列an、bn的通项公式；（2）令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn；（3）当k7且kN*时，证明对任意nN*，都有成立考点： 数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合 专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由，得（an+1+2an+1）（an+12an1）=0，应有an+1=2an+1，整理为an+1+1=2（an+1），通过等比数列an+1的通项求出数列an的通项公式，再利用对数的计算法则求bn的通项公式；（2）由（1）cn=anbn=n（2n1），要求数列cn的前n项和Tn，先分组再利用错位相消法和公式法求和（3）法1：设，从而，利用不等式，即当且仅当x
30、=y时等号成立推证法2：=，合理分组进行分式放缩推证解答： 解：（1）由，得（an+1+2an+1）（an+12an1）=0数列an的各项均为正值，an+1+2an+10，an+1=2an+1，整理为an+1+1=2（an+1）又a1+1=20数列an+1为等比数列，数列an的通项公式，数列bn的通项公式（2）由（1）cn=anbn=n（2n1）所以Tn=121+222+323+n2n（1+2+3+n）令Tn=121+222+323+n2n则2Tn=122+223+324+n2n+1得Tn=121+22+23+24+2nn2n+1=2n+12n2n+1=（1n）2n+12，Tn=（n1）2n+
31、1+2（3）法1：设当x0，y0时，当且仅当x=y时等号成立上述（1）式中，k7，n0，n+1，n+2，nk1全为正，法2=点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识解题时要注意构造法的合理运用20（2013绵阳模拟）已知函数f（x）=exx2ax，（aR）（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）如果函数g（x）=f（x）（a）x2恰好有两个不同的极值点x1，x2证
32、明：ln2a考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 导数的综合应用分析： （1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f（x）0在R上恒成立，利用参变量分离转化成aexx在R上恒成立，利用导数求h（x）=exx的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为证明当t0时恒成立，构造函数，利用导数即可证得结论解答： 解：（1）
33、f（x）=exx2ax，f（x）=exxa，根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f（0）=1a，切线方程为y=2x+b，则k=2，1a=2，解得a=1，f（0）=1，即切点（0，1），1=20+b，解得b=1；（2）函数f（x）在R上是增函数，f（x）0在R上恒成立，即exxa0在R上恒成立，aexx在R上恒成立，令h（x）=exx，则h（x）=ex1=0，得x=0，列表如下： x （，0） 0 （0，+）h（x） 0 +h（x） 减函数 极小值 增函数h（x）min=h（0）=1，a1，故实数a的取值范围a1；（3）g（x）=f（x）（a）x2，g（x）=ex2axa，x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1x2），当a0时，g（x）0，即g（x）是R上的增函数，与已知矛盾，a0，且g（x1）=0，g（x2）=0，且两式相减，可得，要证明，即证明，两边同除以，即证，即证（x1x2），即证（x1x2）0，令x1x2=t，则t0，即证不等式在t0时恒成立，令，=，由（2）可知，即，（t）0，（t）在t0时是减函数，（t）在t=0时取得极小值（0）=0，（t）0，在t0时恒成立，点评： 本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性同时考查了不等式的证明，证明过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题属于难题