1、第二课时数列的性质和递推公式【选题明细表】知识点、方法题号递推公式的简单应用1、5、7利用递推公式求通项公式4、10数列的单调性2、8、12数列的周期性6、9、11数列的最大(小)项问题3基础巩固1.已知数列an满足a1=,an=2an-1+1(n1),那么a4等于(B)(A)5(B)11(C)23(D)8解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故选B.2.已知数列an满足a10且an+1=an,则数列an是(B)(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列(D)摆动数列解析:因为a10,an+1=an,所以an0.又因为an+1-an=an-an=-a
2、n0,所以an+1an.所以an+1-an=(a2-1)(3n2+3n-1)0.因为nN*,所以3n2+3n-1=3(n+)2-50,所以a2-10,所以a1或a-1.故a的取值范围是(-,-1)(1,+).能力提升9.数列an满足an+2an=2an+1(nN*),且a1=1,a2=2,则数列an的前2014项的乘积为(D)(A)22012(B)22013(C)22014(D)22015解析:由an+2an=2an+1(nN*),得an+2=(nN*),由a1=1,a2=2,得a3=4,a4=4,a5=2,a6=1,a7=1,a8=2,a9=4,a10=4数列中的项呈周期出现,周期为6,又一
3、个周期的乘积为26,因为2014=3356+4,所以前2014项的乘积为1244=22015.10.如图是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1,如果把图(2)中的直角三角形继续做下去,记OA1,OA2,OAn,的长度构成数列an,则此数列的通项公式为an=.解析:因为OA1=1,OA2=,OA3=,OAn=,所以a1=1,a2=,a3=,an=.答案:11.已知数列an满足a1=2,an=1-(nN*,n2),则a3=,a2014=.解析:因为a1=2,所以a2=1-=1-=,从而a3=1-=1-=1-2=-1,a4=1-=1-=2,a5=1-=,a6=1-=-1,.由此可知数列an各项的值以3为周期重复出现,于是a2014=a3671+1=a1=2.答案:-12探究创新12.已知an=a()n(a为常数且a0),试判断an的单调性.下面是一学生的解法,这种解法对吗?如果不对,给出你的结论.因为an-an-1=a()n-a()n-1=-a()n0,所以不对,对于非零实数a应讨论a0和a0时,an-an-10.所以anan-1.所以an是递减数列;当a0,所以anan-1.所以an是递增数列.
