1、吉林省长春市第一中学2021届高三数学上学期期末考试试题 理试题说明： 1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。2答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定区域内。3. 请将第I卷的答案用2B铅笔涂到答题卡，将第II卷的答案用黑色中性笔答在答题卡的规定位置处。第I卷（选择题 60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设集合，2，3，则（ ）.A，2，3，B，C，3，D2已知复数，则（ ）.AB3CD53. 命题“”的否定为（ ）
2、.ABCD4. （ ）.ABCD5. 一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ ）.A63B108C75D836. 若实数，满足不等式组，则的最大值是（ ）.ABC3D77已知 为正实数，且，则的最小值为（ ）.A4B7C9D118. 在ABC中，角的对边分别为，若，则（ ）.ABCD9. （ ）.ABC2D10. 对于函数，有以下四种说法：函数的最小值是图象的对称轴是直线图象的对称中心为函数在区间上单调递增其中正确的说法的个数是（ ）.A1 B2 C3 D411若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ）.ABCD12.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛
3、物线相交于两点，则的值为（ ）.A B1 C2 D4第卷（非选择题 90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量，若，则实数等于_.14数列1，的前n项之和_.15已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_.16. 已知在锐角ABC中，,则的取值范围是_.三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17. (本题满分10分)在ABC中，内角，所对的边分别为，若，（1）求；（2）若ABC外接圆的面积为，求边长18(本题满分12分)已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.19. (本题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面，底面为
4、菱形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.20. (本题满分12分) 已知椭圆：.（1）求与方程焦点相同，且过的椭圆方程.（2）若直线交椭圆于，两点，且，试求ABC的面积.21. (本题满分12分)已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最大值22. (本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与相交于，两点，设，求2020-2021学年上学期高三年级期末考试数学答案(理科)1设集合，2，3，则（ ）A，2，3，
5、B，C，3，D【答案】C解：，2，3，3，故选：C.2已知复数，则（ ）AB3CD5【答案】D【分析】先利用复数的乘法计算，再利用模长公式即可求解.【详解】，所以，故选：D3. 命题“”的否定为（ ）ABCD【答案】D【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解，即由全称命题的否定为特称命题可直接得解【详解】命题“，”的否定为“”故选：D4. （ ）ABCD【答案】D【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式可求三角函数式的值.【详解】，故选：D.5. 一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ ）A63B108C75D83【答案】A【分析】利用等比数列的前项和公式的性质
6、：成等比数列即可求解.【详解】数列为等比数列，其前项和为，则成等比数列，即成等比数列，即，解得.故选：A6. 若实数，满足不等式组，则的最大值是（ ）ABC3D7【答案】C【分析】作图可行域，再由，平移直线，纵截距最小值即为最大.【详解】作出可行域如图所示：令，则平移直线，当经过点时，最大，故选：C.7已知 为正实数，且，则的最小值为（ ）A4B7C9D11【答案】C【分析】由，展开后利用基本不等式求最值【详解】 且 ，当且仅当，即时，等号成立的最小值为9故选：C8. 在ABC中，角的对边分别为，若，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可.【详解】
7、因为角是三角形的内角，所以，由，可得：，由正弦定理可知：，因为，所以.故选：D9. （ ）ABC2D【答案】D【分析】由定积分的运算性质，得到，再结合定积分的计算公式和定积分的几何意义，即可求解.【详解】由定积分的运算性质，可得，又由，根据定积分的几何意义，可知定积分表示所表示的图形的面积，即所表示的上半圆的面积，其中面积为，所以.故选：D.10. 对于函数，有以下四种说法：函数的最小值是图象的对称轴是直线图象的对称中心为函数在区间上单调递增其中正确的说法的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误【详解】函数，当时
8、，即，函数取得最小值为，故正确；当时，即，函数的图象的对称轴是直线，故错误；当时，即，函数的图象的对称中心为，故错误；当，即，函数的递增区间为，当时，的递增区间为，故正确故选：B【点睛】关键点点睛：函数的递增区间转化为的递减区间.11若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】求得，由题意可知，有两个不同的零点，可得出，进而可求得实数的取值范围.【详解】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点的个数，结
9、合二次函数的基本性质解题.12.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则的值为（ ）AB1C2D4【答案】B【分析】将直线的方程和抛物线的方程联立，消去得到关于的一元二次方程， 将用，表示出来，再利用韦达定理化简即可【详解】由得，可得直线方程为，联立，消去得设，则，又，所以故故选：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用焦半径公式得到，.13. 已知向量，若，则实数等于_.【答案】7【分析】根据向量垂直的坐标表示运算即可.【详解】因为向量，所以，因为，所以，解得，故答案为：714数列1，的前n项之和_.【答案】【分析】先归纳出通项公式，然后再分组求和【详解】由题意，故答案为：。1
10、5已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_.【答案】【详解】由题意知，因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，所以在R上恒成立，故，即16. 已知在锐角ABC中，,则的取值范围是_.【答案】（0，12）【详解】由题，由余弦定理，又锐角中，且，联立解得，由可得.17在ABC中，内角，所对的边分别为，若，（1）求；（2）若外接圆的面积为，求边长【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题中条件，根据余弦定理，求出，进而可求出；（2）根据题中条件，先求出外接圆半径，再由正弦定理，即可求出结果.【详解】（1）由余弦定理得又，又为三角形的内角，所以；（2）外接圆的面积为，设该圆半径为，则，由正弦定理
11、得：，所以.18已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设数列的公差为，根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果.【详解】（1）设数列的公差为，由题意有，解得，所以，故数列的通项公式为；（2）由所以.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.19如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明
12、见解析；（2）.【分析】（1）在菱形中证明，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直（2）以为坐标原点，向量，方向分别为、轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【详解】（1）证明：连底面为菱形，平面，平面，平面，平面（2）由（1）知，又由，可得，可得、两两垂直令，可得，以为坐标原点，向量，方向分别为、轴建立如图所示空间直角坐标系可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由（1）可知为平面的法向量设平面的法向量为，有，取，可得由，有故平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角求二面角的方法：（1）几何法，通过作证算三个
13、步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解20已知椭圆：.（1）求与方程焦点相同，且过的椭圆方程.（2）若直线交椭圆于，两点，且，试求ABC的面积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设出椭圆方程，可得出，求出即可；（2）联立直线与椭圆，利用韦达定理求出，再利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出到直线的距离，即可得出面积.【详解】解：（1）由题意得：椭圆的焦点为和，设椭圆的方程为，且过，可建立方程组，解得或（舍）.椭圆的方程为.（2）联立直线与椭圆的方程，得
14、，消得，由韦达定理得，.解得满足，则，.应该是【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最大值【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）4.【分析】（1）将代入，求出定义域以及，设，再次求导，判断在上单调递减，且，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）解法1：原不等式等价于，在上恒成立，分离参数可得，利用导数求出的最小值即可
15、；解法2：原不等式等价于在上恒成立，设，求出导函数，讨论或，只需即可求解.【详解】（1）解：若，函数的定义域为，得.设，则.故在上单调递减，且，故当时，即，单调递增：当时，即，单调递减.综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解法1：原不等式等价于，即在上恒成立.设，.则，设，则.所以在上单调递增.又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即.当时，即，故在上单调递减；当时，即，故在上单调递增；所以由题意可知，又，得，因为.所以整数的最大值为4.解法2：原不等式等价于在上恒成立.设，则.（）当时，在上恒成立，所以在上单调递增.故在上恒成立.（）当时，令，得当时，故）
16、在上单调递减：当时，故在上单调递增.要使在上恒成立，只需.令，则，所以在上单调递减.又，所以在上存在唯一的零点且，从而的解为.因为，所以整数的最大值为4.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与相交于，两点，设，求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）消去参数即可得到的普通方程，将，代入即可得的直角坐标方程；（2）由直线参数方程的几何意义即可求得.【详解】（1）由：，得：，由：得，将，代入可得：；（2）经检验在曲线上，则曲线的参数方程可写为：（为参数），代入曲线，得：，设，两点对应的参数分别为，则由韦达定理得：，故【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解直线参数方程中的几何意义.