1、四川省成都市第二十中学2023届第一学期期中检测 高三数学理科时间120分钟 满分: 150分 注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。一.选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数 z=21+i , 则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.集合 A=y y= 2x, x 0 ，B=1,0,1,2 , 则A B= （ ）A.1 B
2、.0 C.1,2 D.1,0 3. 设向量 a=(1, x1) ，b=(x+1,3) ，若a 、 b 共线，则（ ）A.x=2 B.x=2 C.x=2 D.x=12 4.下列叙述中，错误的是（ ）A.命题“ x00 ， ln x0= x01 ”的否定是“x0 ，lnx x1 B.命题“若 x=y , 则sinx=siny ”的逆否命题是真命题C.已知 x00 , 则“ a x0 b x0 ”是“ab0 ”的必要不充分条件D.函数 y=tanxx k +2, k Z 是增函数5.某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格。后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都做一定量的题，看
3、每次月考的数学成绩，得到5 个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程 y=1.6 x+a , 若该同学数学想达到90 分，则估计他每天至少要做的数学题数为（ ）A.8 B.9 C.10 D.11 6.将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（ ）A.3240种 B.1620种 C.540种 D.90种7.ABC 中, 已知a 、b 、c 分别是角A 、 B 、 C 的对边, 且ab=cosBcosA ， A 、 B 、 C 成等差数列, 则角C= （ ）A.3 B.6
4、C.6 或2 . D.3 或2 8.已知 sin3+3 cos=13 , 则sin2 +6= （ ）A.19 B.79 C.23 D.29 9.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把 ( 1+1 %)365 看作是每天的“进步”率都是1 % ，一年后是 1.01365 37.7834 ; 而把( 11 %)365 看作是每天“退步”率都是1 % ,一年后是 0.99365 0.0255 . 若“进步”的值是“退步”的值的 100 倍, 大约经过（ ）天 . (参考数据： lg101 2.0043 ，lg9
5、9 1.9956 )A.170 天B.190 天C. 210 天D.230 天10.已知变量 X N1, 2 ，且P(X0)=P(X a) ，则 x2+a x1x6 的展开式中的常数项为（ ）A.5 B.5 C.25 D.25 11.已知定义在 R 上的函数f(x) 和f(x+1) 都是偶函数, 且当x 0,1 时,f(x) =3x1 , 则函数g(x)=f(x) log2 x| 的零点个数是（ ）A.8 B.6 C.4 D.2 12.设 a=2 e ，b=2ln2 ，c= e24ln4 , 则（ ）A.acb B.cba C.cab D.bc0, 0,|0, b0) ，F 为右焦点, 过点F
6、 作F A x 轴交双曲线于第一象限内的点A , 点B 与点A 关于原点对称, 连接A B ， B F , 当A B F 取得最大值时, 双曲线的离心率为_.三 解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本题满分12分）A B C 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ， b ，c , 已知2 c cosB=2 ab ,(1) 若c=2 , 且 SA B C=3 , 求a ;(2) 若sinA+sinB=3 sinC , 求A .18. （本题满分12分）为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式某校对高一新生是否适应寄宿生活
7、做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下22列联表：（1）请将22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望附: K2=n( a db c)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d .
8、19. （本题满分12分）如图, 己知三棱柱 A B CA1 B1 C1 , 平面 A A1 C1 C 平面A B C ，A B C=90 ， B A C=30 , A1 A=A1 C=A C ， E 、F 分别是A C 、 A1 B1 的中点.(1) 证明:E F B C ;(2) 求直线E F 与平面 A1 B C 所成角的正弦值.20. （本题满分12分）设抛物线 C: y2=4 x 的焦点为F ，过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点.(1) 若A B=8 , 求直线l 的方程;(2) 设P m24, m 为C 上异于A ，B 的任意一点, 直线P A ，P B 分别与C 的准线相
9、交于D ， E 两点, 求证: 以线段D E 为直径的圆经过x 轴上的定点.21. （本题满分12分）已知函数 f(x)=a lnxx .（1）若函数 f(x) 有两个不同的零点, 求实数a 的取值范围；（2）若方程 xa+a lnx= e x+x 有两个不等实根 x1 ， x2 , 且 x22 x1 , 求 x1 x2 的取值范围选做题：请考生从第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所选涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂，按本选考题的首题进行评分.22. （本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 x O y
10、 中, 曲线 C1 的参数方程为x=2 cos, y=sin, ( 为参数). 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求 C1 的极坐标方程以及曲线 C1 上的动点P 到直线x2 y+3 2=0 的距离的最大值.(2) M 与N 是曲线 C1 上的两点, 若O M O N , 求1 |O M|2+1 |O N|2 的值.23. （本题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数 |f(x)|=|xa|+|x3 a| .(1) 当a=1 时, 求不等式f(x)6 的解集;(2) 若f(x) 的最小值为4 , 且(am)(a+m)=4 n2 , 求1 m2 +n2 的最小值.四川
11、省成都市第二十中学2023届第一学期期中检测 高三数学理科参考答案及解析一.选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 【答案】B【解析】由已知，得z=1i ，所以z=1+i ，则z 对应的点为(1,1) ，在第二象限.2. 【答案】A 【解析】A=y y= 2x, x 0=y 0y 1 ，B=1,0,1,2 ,A B=y 0y 1 1,0,1,2=1 .3. 【答案】A 【解析】a=(1, x1) ，b=(x+1,3) , 且a 与b 共线,1 3(x1)(x+1)=0 , 即 3x2+1=0 , 解得x=2 .4. 【答案】D 【解
12、析】略5. 【答案】C 【解析】由题意, x=6 ， y=84 ，代入 y=1.6 x+a , 可得84=9.6+a ，a=74.4 y=1.6 x+74.4 ,y=90 时,90=1.6 x+74.4 ，x 10 ,6. 【答案】C 【解析】第一步，医护人员的安排方案有 A33=6 种，第二步，志愿者的安排方案有 C62 C42 C22=90 种， 不同的安排方案共有90 6=540 种.7. 【答案】D 【解析】由 ab=cosBcosA , 利用正弦定理得:sinAsinB=cosBcosA ,即 sinA cosA=sinB cosB ， sin2 A=sin2 B ,0A ，0B ，
13、0A+B .2 A=2 B 或2 A+2 B= .A=B 或A+B=2 .又 A 、B 、 C 成等差数列, 则A+C=2 B , 由A+B+C=3 B= , 得B=3 .当A=B=3 时,C=3 ；当 A+B=2 时,C=2 .C=3 或2 8. 【答案】B【解析】因为 sin3+3 cos=13 ,所以 12 sin32 cos+3 cos=12 sin+32 cos=cos6=13 ,则 sin2 +6=cos26=2 cos261=2 1321=79 .9. 【答案】D 【解析】设经过 x 天“进步“的值是“退步”的值的100 倍.则 100 0. 99x= 1.01x ,即 1.01
14、0.99x=100 ，x=log1.010.99 100=lg100lg1.010.99=lg100lg10199 =2lg101lg99 22.00431.9956 20.0087 230 .10. 【答案】D 【解析】由题意可知 a=2 ,则多项式 x2+2 x1x6 的展开式的常数项为 x2 C64 x2 1x4+2 C63 x3 1x3=1540=25 .11. 【答案】A 【解析】因为 f(x+1) 是偶函数, 所以函数y=f(x) 的图象关于x=1 轴对称, 即f(2x)=f(x) . 又因为函数f(x) 为偶函数, 所以f(2x)=f(x)=f(x) , 即f(x+2)=f(x)
15、 , 所以函数y=f(x) 的周期为 2 . 因为当x 0,1 时f(x) =3x1 . 所以f(0)=0 ， f(1)=2 ， f(x) 在x 0,1 上单调递增. 作出函数y=f(x) 与函数y=|log| x| 的图象如图所示. 由图可得,交点共有8 个,故函数g(x) 的零点个数为8 .12. 【答案】B 【解析】设 f(x)=xlnx , 则a=elne=f(e) ，b=f(2) ，c= e2ln e222=f e22 .因为 f(x)=lnx1( lnx)2 , 所以当1xe 时, f(x)e 时, f(x)0 .所以 f(x) 在(1, e) 单调递减, 在(e,+) 单调递增.
16、因为 f(2)=f(4) , 且1e2e e22f(2)=f(4)f e22 , 即abc .二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 【答案】(1)1 (2)3,0 (3)1 (4)6+22 13.由f(x) =a x22 lnx+2,得 f(x)=2 a x2x, f(1)=2 a2, 曲线f(x) =a x22 lnx+2 在点(1, f(1) 处的切线平行于x 轴, f(x)=2 a2=0 , 即a=1 .14.由题意可得:T2=5 88=2 ,即=2 T=2，又BA=3 B+A=1 ,即A=2 B=1,又2 sin2 8+1=1 ,即+4=2 k +2, k Z ,又2
17、6.635 所以有99% 的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联.（2）抽取的10人中，有2人不适应寄宿生活，有8人适应寄宿生活随机变量X的取值可以说0，1，2P(X=0)= C82 C102=2845 ， P(X=1)= C81 C21 C102=1645 ， P(X=2)= C22 C102=145 E X=0 2845+1 1645+2 145=25 19. 【答案】(1) 证明见解析(2) 45 . 【解析】(1) 如图所示, 连结 A1 E， B1 E,等边A A1 C 中,A E=E C,则 A1 E A C,平面A B C 平面 A1 A C C1,且平面A B C 平面 A
18、 A C C1=A C,由面面垂直的性质定理可得： A1 E 平面A B ,故 A1 E B C,由三棱柱的性质可知 A1 B1 / / A B , 而A B B C , 故 A1 B1 B C ,且 A1 B1 A1 E=A1 , 由线面垂直的判定定理可得:B C 平面 A1 B1 E ,结合 E F 平面 A1 B1 E , 故E F B C.(2) 在底面A B C 内作E H A C,以点E为坐标原点,E H，E C， E A1方向分别为x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系Ex y z .设E H=1,则A E=E C=3， A A=C A1=2 3， B C=3， A B=3,据
19、此可得:A(0,3, 0)， B32, 32, 0， A(0,0,3)， C(0, 3, 0),由A B= A B1可得点 B1的坐标为 B132, 32 3, 3,利用中点坐标公式可得: F34, 34 3, 3,由于E(0,0,0),故直线E F 的方向向量为:E F=34, 34 3, 3,设平面 A1 B C的法向量为m=(x, y, z),则:m A1 B=(x, y, z) 32, 32,3=32 x+32 y3 z=0 m B C=(x, y, z) 32, 32, 0=32 x+32 y=0,据此可得平面 A1 B C 的一个法向量为m=(1, 3, 1),此时 cosE F,
20、m=EF m|E F| |m|=65 3 52=45,设直线E F与平面A B C 所成角为 , 则sin=cosE F, m=45.20. 【答案】(1) x=y+1 .(2) 证明见解析 【解析】(1) 设直线l 的方程为x=t y+1 , 代入 y2=4 x , 得 y24 t y4=0 .设点 A x1, y1 ，B x2, y2 , 则 y1+ y2=4 t ， y1 y2=4 . A B=x1+ x2+2=t y1+ y2 +4=4 t2+4=8 ,t=1 , 直线l 的方程为x=y+1 .(2) 设点A y124 , y1 ， B y224 , y2 , 点P m24, m ,则
21、 k pA= y1m y124 m24=4 y1+m , 直线P A 的方程为ym=4 y1+mx m24 .令 x=1 , 得y=m4 y1+m1+ m24= m y14 y1+m , 所以点D1, m y14 y1+m .同理, 点 E1, m y24 y2+m 设以线段 D E 为直径的圆与x 轴的交点为N(a, 0) ,则 D N=a+1, m y14 y1+m ，E N=a+1, m y24 y2+m .由题知 D N E N , 则D N E N=0 , 即( a+1)2+ m y14 y1+m m y24 y2+m=0 ( a+1)2= m y14 m y24 y1+m y2+m
22、= m2 y1 y24 m y1+ y2+16 y1 y2+m y1+ y2 +m2= 4 m2+16 m t16 m2+4 m t4=4 得 a=1 或3 .故以线段 D E 为直径的圆经过x 轴上的两个定点(1,0) 和(3,0) .21. 【答案】（1）( e ,+) ；（2）(8,+) . 【解析】（1）由题意可知 a 0 ， 1a=lnxx 有两个不等根,令 g(x)=lnxx ， g(x)=1lnx x2 ，增区间为 (0, e ) , 减区间为( e ,+) ， g( e )=1 e ， g(1)=0 ，x 0+ ，g(x) ，x + ， g(x) 0+ ， 01a1 e , 实
23、数a 的取值范围为( e ,+) ；（2） xa= e lnxa= e a lnx , ea lnx+a lnx= e x+x 令 F(x) = e x+x ， F(x) 在R 上为单调递增函数,由题意 F(a lnx)=F(x) 有两个不等实根，即 a lnx=x 有两个不等实根，由（1）可知 1 x1 e 2 ，ln x1=lntt1 ,ln x1 x2=ln t x12=lnt+2 ln x1=(t+1) lntt1 设 (t)=(t+1) lntt1(t2) ， (t)=t1t2 lnt( t1)2 ,令 W(t)=t1t2 lnt(t2) ， W(t)=( t1)2 t20 ,W(t
24、)W(2)0 ， (t)=(t+1) lntt1(t2) 为增函数,(t)(2)=3 ln2=ln8 , x1 x2 的取值范围为(8,+) .22. 【答案】(1) 2=4 cos2 +4 sin2 ；10 (2) 54 . 【解析】(1) 曲线 C1 的普通方程为 x24 +y2=1 , 极坐标方程为 2=4 cos2 +4 sin2 设 P(2 cos, sin) ，d=|2 cos2 sin+3 2|5=3 22 2 sin45 ,当 sin4=1 时, 最大值为3 2+2 25=10 (2) 曲线 C1 的极坐标方程为 2=4 cos2 +4 sin2 ,令 M 1, 1 ， N 2
25、, 1+2 , 则1 |O M|2+1 |O N|2=1 12+1 22 = cos2 1+4 sin2 14+ cos2 1+2+4 sin2 1+24 = cos2 1+4 sin2 1+ sin2 1+4 cos2 14=5 cos2 1+5 sin2 14=54 ,即 1 |O M|2+1 |O N|2 的值为54 .23. 【答案】(1) (1,5) .(2) 94 . 【解析】(1) 当a=1 时,f(x)6 等价于|x1|+|x3|6 .当 x 1 时,1x+3x6 , 则1x 1 ;当 1x3 时,x1+3x6 , 则1x3 ;当 x 3 时,x1+x36 , 则3 x5 .综上, 不等式 f(x)6 的解集为(1,5) .(2) 因为f(x) |xa(x3 a)|=|2 a| , 所以f( x)min =|2 a|=4 , 则 a2=4 .因为 (am)(a+m)=4 n2 , 所以 a2=4 n2 +m2=4 ,则 1 m2 +n2=141 m2 +n24 n2 +m2 =145+4( m n)2+( m n)2 14(5+2 4)=94 ,当且仅当 4( m n)2=( m n)2 , 即( m n)2=2 , 即 m2=43 ， n2=32 时, 等号成立,故 1 m2 +n2 的最小值为94 .