1、广东省广州市天河区2020届高三数学一模试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，集合，则A，B，CD2（5分）设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于A18B36C45D604（5分）已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A若，则B若，则C若，且，则D若，且，则5（5分）的展开式的常数项是ABC2D36（5分）已知，满足，则下列各选项正确的是ABCD7（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数
2、学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数的一种方法例如：3可表示为“”，26可表示为“”现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为A13B14C15D168（5分）在矩形中，与相交于点，过点作，垂足为，则ABCD9（5分）函数图象的大致形状是ABCD10（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A36B24C72D14411（5分）已知函数，若方程的解为，则ABCD12（5分）已知函数，曲线上总存在两点，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为ABCD二、填空
3、题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知数列满足，则当时， 14（5分）设当时，函数取得最大值，则 15（5分）已知函数在处有极小值10，则 16（5分）在三棱锥中，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在锐角中，角，对应的边分别是，且（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值18（12分）在等比数列中，公比，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值1
4、9（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，与交于点，平面平面，（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值20（12分）某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为、，则“尺寸误差” 为，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是，、，、，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），每片价
5、格分别为7.5元、6.5元、5.0元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元，求的分布列及数学期望（）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率附：若随机变量服从正态分布，则；，21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若存在成立，求整数的最小值（二）
6、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题
7、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，集合，则A，B，CD【解答】解：，或，故选：2（5分）设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：设复数，；，；复数，复数在复平面内对应的点位于第二象限故选：3（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于A18B36C45D60【解答】解：，故选：4（5分）已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A若，则B若，则C若，且，则D若，且，则【解答】解：由，是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：在中，若，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，则与相交或平行，故错误；在中，
8、若，且，则与相交或平行，故错误；在中，若，且，则线面垂直、面面垂直的性质定理得，故正确故选：5（5分）的展开式的常数项是ABC2D3【解答】解：第一个因式取，第二个因式取，可得；第一个因式取2，第二个因式取，可得的展开式的常数项是故选：6（5分）已知，满足，则下列各选项正确的是ABCD【解答】解：依题意，因为为上的增函数，所以；应为为上的增函数，且，所以，；满足，所以，所以，所以，又因为为的增函数，所以，综上：故选：7（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数的一种方法例如：3可表示为“”，26可表示为“”现有6根算筹
9、，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为A13B14C15D16【解答】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；则一共可以表示个两位数；故选：8（5分）在矩形中，与相交于点，过点作，垂足为，则ABCD【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形中，则，；直线的方程为；由，则直线的方程为，即；由，解得，所以，所以故
10、选：9（5分）函数图象的大致形状是ABCD【解答】解：，则，则是偶函数，则图象关于轴对称，排除，当时，（1），排除，故选：10（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A36B24C72D144【解答】解：根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有种，故选：11（5分）已知函数，若方程的解为，则ABCD【解答】解：因为，又因为方程的解为，因为，由，得，故选：12（5分）已知函数，曲线上总存在两点，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为ABCD【解答】
11、解：函数，导数由题意可得，且即有，化为，而，化为对，都成立，令，对，恒成立，即在，递增，（4），即的取值范围是，故选：二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知数列满足，则当时，【解答】解：数列满足， ，则，由此可得当时，故答案为：14（5分）设当时，函数取得最大值，则【解答】解：；当时，函数取得最大值；，；故答案为：15（5分）已知函数在处有极小值10，则15【解答】解：，函数在处有极小值10，（1），（1），解得，或，当，时，此时是极小值点；当，时，此时不是极小值点，故答案：1516（5分）在三棱锥中，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是【解答】解：如图所示，取
12、的中点，连接，设为的中心，为三棱锥外接球的球心连接，取的中点，连接则为棱锥外接球的半径为矩形三棱锥外接球的表面积故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在锐角中，角，对应的边分别是，且（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值【解答】解：（1），可得：，解得：，或，为锐角三角形，可得：（2），可得：，又，可得：，在中，由余弦定理可知，在中，由正弦定理可知：，可得：18（12分）在等比数列中，公比，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，数
13、列的前项和为，当取最大值时，求的值【解答】解：（1），可得，由，即，由，可得，可得，即，由解得舍去），则；（2），可得，则，可得或9时，取最大值18则的值为8或919（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，与交于点，平面平面，（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值【解答】证明：（1）如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别为，中点，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面（2）如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，显然二面角为锐二面角，设该二面角为，向量，0，是平面的法向量，设平面
14、的法向量，由题意可知，所以，0，0，0，所以，0，则，即，所以，所以20（12分）某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为、，则“尺寸误差” 为，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是，、，、，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品
15、瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元，求的分布列及数学期望（）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率附：若随机变量服从正态分布，则；，【解答】解：（）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在之内（即没有废品）的概率为；则这10片中至少有1片是废品
16、的概率为；（3分）（）（）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；则的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10元；（4分）计算，得到的分布列如下：15141312.511.5100.490.280.040.140.040.01（6分）数学期望为（元；（8分）（）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有片“优等”品，则有片“一级”品，由已知，解得，则取4或5；故所求的概率为（12分）21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若存在成立，求整数的最小值【解答】解：（1）由
17、题意可知，方程对应的，当，即时，当时，在上单调递减； （2分）当时，方程的两根为，且，此时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；（4分）当时，此时当，单调递增，当时，单调递减； （6分）综上：当时，单调递增，当时，单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减； （7分）（2）原式等价于，即存在，使成立设，则，（9分）设，则，在上单调递增又（3），（4），根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即，（11分）由题意可知，又，的最小值为5（12分）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标
18、系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值【解答】解：（1）由，得曲线直线的极坐标方程展开为，故的直角坐标方程为（2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为为参数），代入得，设，对应的参数为，所以为定值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围【解答】解：（1）若时，当时，原不等式可化为解得，所以，当时，原不等式可化为得，所以，当时，原不等式可化为解得，所以，综上述：不等式的解集为；（2）当，时，由得，即，故得，又由题意知：，即，故的范围为，