1、2014-2015学年四川省成都市都江堰外国语实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则=（） A 2 B 2 C 2i D 2i2下列说法中正确的是（） A “x5”是“x3”必要不充分条件 B 命题“对xR，恒有x2+10”的否定是“xR，使得x2+10” C mR，使函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数 D 设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题3某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的
2、茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（） A 19、13 B 13、19 C 20、18 D 18、204函数y=x+sinx，x，的大致图象是（） A B C D 5执行如图所示的程序框图，输出的k值为（） A 7 B 9 C 11 D 136设点（a，b）是区域内的随机点，函数y=ax24bx+1在区间1，+）上是增函数的概率为（） A B C D 7设1，那么（） A aaabba B aabaab C abaaba D abbaaa8若函数f（x）=2sin（）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=（） A 32 B 16 C 1
3、6 D 329已知双曲线=1（a0，b0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（1，0），则双曲线的离心率是（） A B C D 10若对x，y0，+），不等式4axex+y2+exy2+2恒成立，则实数a的最大值是（） A B 1 C 2 D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分11展开式中的常数项为12已知点A（2，0），B（2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的中垂线，则点D的坐标是13某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为14高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的
4、学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为15如图，A是两条平行直线l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为AM=1，AN=2，设ABC的另两个顶点B，C分别在l1，l2上运动，且ABAC，=，则以下结论正确的序号是ABC是直角三角形；+的最大值为；（S四边形MBCN）min=（SABC）min+（SAMB+SACN）min；设AMB的周长为y1，ACN的周长为y2，则（y1+y2）min=10三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）（2015湖北二模）等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2
5、=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令Cn=设数列cn的前n项和Tn，求T2n17（12分）（2015衡阳三模）在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2Acos2B=（1）求角B的值；（2）若且ba，求的取值范围18（12分）（2015梧州一模）随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多，某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M（文化）、N（面试）两个考核内容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地学校的保送生，假设每位同学完成每个
6、方案中的M、N两个考核内容的得分是相互独立的，根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如表：表1：甲方案考核内容 M（文化） N（面试）得分 100 80 50 20概率 表2：乙方案考核内容 M（文化） N（面试）得分 90 60 30 10概率 已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资格的概率；（2）若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX19（12分）（2013河南模拟）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC（
7、1）求证：ACBB1；（2）若AB=AC=A1B=2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为20（13分）（2015济南一模）已知抛物C的标准方程为y2=2px（p0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为（）求抛物线C的标准方程；（）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由21（14分）（2015南昌校级二模）已知函数f（x）=lnxmx2，g（x）=+x，mR令F（x）=f（x）+g（x）（
8、）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x22014-2015学年四川省成都市都江堰外国语实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则=（） A 2 B 2 C 2i D 2i考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答： 解：
9、，=1i，则=+i+1=i+1+i+1=2，故选：B点评： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2下列说法中正确的是（） A “x5”是“x3”必要不充分条件 B 命题“对xR，恒有x2+10”的否定是“xR，使得x2+10” C mR，使函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数 D 设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题考点： 命题的真假判断与应用 专题： 简易逻辑分析： 必须对选项一一加以判断：对A应用充分必要条件定义解决；对B应用命题的否定确定；对C应用奇函数的定义解决；对D应用真值表判断解答： 解：对A，因为x5可推出x3，所以“x5”是“x3”充分不必要
10、条件，故A错；对B，由全称命题或存在性命题的否定得：B正确；对C，若函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数，则由定义知不存在m，故C错；对D，因为p，q是简单命题，若pq是真命题，则p，q中至少有一个为真，所以pq可真可假，故D错故选：B点评： 本题主要考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件、命题的否定、复合命题的真值表等，注意分析和逻辑推理，是一道基础题3某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（） A 19、13 B 13、19 C 20、18 D 18、20考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数 专题：
11、计算题；图表型分析： 把两列数据按照从小到大排列，数据有11个最中间一个数字就是中位数，把两列数据的中位数找出来解答： 解：由茎叶图知甲的分数是6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41，共有11个数据，中位数是最中间一个19，乙的数据是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40共有11和数据，中位数是最中间一个13，故选A点评： 本题考查茎叶图和中位数，解题的关键是把数据按照从小到大排列，最中间一个或最中间两个数据的平均数就是中位数4函数y=x+sinx，x，的大致图象是（） A B C D 考点： 函数的图象 专题： 函数的性质及应用分析： 利用函数的奇偶性
12、，函数的单调性，即可得到选项解答： 解：函数y=x+sinx，x，是奇函数，B、C的图象不满足奇函数的定义，函数y=x是增函数，y=sinx在x，是增函数，函数y=x+sinx，x，是增函数，D不正确，A正确故选：A点评： 本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题5执行如图所示的程序框图，输出的k值为（） A 7 B 9 C 11 D 13考点： 程序框图 专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=lg11时，满足条件S1，退出循环，输出k的值为11解答： 解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1不满足条件S1，
13、S=lg3，k=3不满足条件S1，S=lg5，k=5不满足条件S1，S=lg7，k=7不满足条件S1，S=lg9，k=9不满足条件S1，S=lg11，k=11满足条件S1，退出循环，输出k的值为11故选：C点评： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查6设点（a，b）是区域内的随机点，函数y=ax24bx+1在区间1，+）上是增函数的概率为（） A B C D 考点： 几何概型 专题： 应用题；概率与统计分析： 作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论解答： 解：作出不等式组内对应的平面区域如图：对应的
14、图形为OAB，其中对应面积为S=44=8，若f（x）=ax24bx+1在区间1，+）上是增函数，则满足a0且对称轴x=1，即，结合条件，可得对应的平面区域为OBC，由，解得a=，b=，对应的面积为S1=，根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：A点评： 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键7设1，那么（） A aaabba B aabaab C abaaba D abbaaa考点： 指数函数单调性的应用 专题： 计算题分析： 先由条件结合指数函数的单调性，得到0ab1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解解答： 解：1且y=（）x在
15、R上是减函数0ab1指数函数y=ax在R上是减函数abaa幂函数y=xa在R上是增函数aabaabaaba故选C点评： 本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性8若函数f（x）=2sin（）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=（） A 32 B 16 C 16 D 32考点： 平面向量数量积的运算；正弦函数的图象 专题： 计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析： 由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，
16、代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答： 解：由f（x）=2sin（）=0可得x=6k2，kZ2x10x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）=（x1+x2，y1+y2）（4，0）=4（x1+x2）=32故选D点评： 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用9已知双曲线=1（a0，b0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（1，0），则双曲线的离心率是（） A B C D 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；
17、双曲线的简单性质 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率解答： 解：设，函数y=的导数为：y=，切线的斜率为，又在点P处的切线过双曲线左焦点F（1，0），解得x0=1，P（1，1），可得，c2=a2+b2c=1，解得a=因此，故双曲线的离心率是，故选A；点评： 本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求10若对x，y0，+），不等式4axex+y2+exy2+2恒成立，则实数a的最大值是（） A B 1 C
18、 2 D 考点： 函数恒成立问题 专题： 函数的性质及应用分析： 利用基本不等式和参数分离可得a在x0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值解答： 解：当x=0时，不等式即为0ey2+ey2+2，显然成立；当x0时，设f（x）=ex+y2+exy2+2，不等式4axex+y2+exy2+2恒成立，即为不等式4axf（x）恒成立即有f（x）=ex2（ey+ey）+2ex22+2=2+2ex2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax2+2ex2，即有a在x0时恒成立，令g（x）=，g（x）=，令g（x）=0，即有（x1）ex2=1，令h（x）=
19、（x1）ex2，h（x）=xex2，当x0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x1）ex2=1的根为2，当x2时，g（x）递增，0x2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a当x=2，y=0时，a取得最大值故选：D点评： 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分11展开式中的常数项为80考点： 二项式系数的性质 专题： 计算题；二项式定理分析： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答： 解：的展开式的通项公式为Tr+1=令155r
20、=0，解得r=3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数12已知点A（2，0），B（2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的中垂线，则点D的坐标是（6，7）考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题： 直线与圆分析： 设D（x，y），由题意可得CD的中点在AB的垂直平分线且CDAB，可得x和y的方程组，解方程组可得解答： 解：设D（x，y），A（2，0），B（2，4），AB点E（0，2），AB的斜率k=1，AB的垂直平分线的斜率为1，AB的垂直平分线的方程为y=x+2，CD的中点F（，）在y=x+2上
21、，+2=0，又CD的斜率=1，联立解得，即D（6，7），故答案为：（6，7）点评： 本题考查线段的中点公式、两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属基础题13某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为考点： 由三视图求面积、体积 专题： 空间位置关系与距离分析： 由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的表面积公式计算解答： 解：由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为2，高为4，圆锥的母线长为2，几何体的表面积S=22+42+44=故答案为：点评： 本题考查了由三视图求几何体的表面积，考查了圆锥的侧面积公式，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及三视
22、图的数据所对应的几何量14高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为472考点： 排列、组合的实际应用 专题： 计算题；排列组合分析： 由分类计数原理，故分为2类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，根据分类计数原理，即可得到答案解答： 解：根据题意，分两种情况讨论：1、不选三班的同学，从12个人中选出3人，有C123种选取方法，其中来自同一个班级的情况有3C43种，则此时有C1233
23、C43=208种选取方法，2、选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C122种选取方法，则此时有4C122=264种选取方法，根据分类计数原理，共有208+364=472种选取方法，故答案为：472点评： 本题考查排列、组合的应用，解题时注意理解“这三人不能是同一个班级的学生”的限制条件15如图，A是两条平行直线l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为AM=1，AN=2，设ABC的另两个顶点B，C分别在l1，l2上运动，且ABAC，=，则以下结论正确的序号是ABC是直角三角形；+的最大值为；（S四边形MBCN）min=（SA
24、BC）min+（SAMB+SACN）min；设AMB的周长为y1，ACN的周长为y2，则（y1+y2）min=10考点： 正弦定理 专题： 解三角形分析： 由正弦定理得：=，则可求得sin2C=sin2B，进而根据ABAC，进而求得A+B的值，则A的值可求得设，则可分别表示出CNA，AB，AC，MB，CN，则+可表示出来，利用两角和公式整理后利用三角函数性质求得其最大值；分别运用表示出四边形MBCN，和三角形ABC的面积利用基本不等式求得其最小值；用表示出y1+y2，令，进而利用二次函数的性质求得其最小值解答： 解：由正弦定理得：=，则sin2C=sin2B，又ABAC，所以正确；设，则，MB
25、=tan，CN=2cot，则，所以正确；，所以错误；，令，（当时取等），所以正确故答案为：点评： 本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的应用，函数思想以及转化与化归思想的运用三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）（2015湖北二模）等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令Cn=设数列cn的前n项和Tn，求T2n考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由a1=
26、3，an=2n+1得Sn=n（n+2）则n为奇数，cn=“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出解答： 解：（）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2+S2=10，a52b2=a3得，解得an=3+2（n1）=2n+1，（）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），则n为奇数，cn=，n为偶数，cn=2n1T2n=（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）=点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（12分）（2015衡阳三模）在ABC中，角A、B、C所对的边为
27、a、b、c，且满足cos2Acos2B=（1）求角B的值；（2）若且ba，求的取值范围考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用 专题： 解三角形分析： （1）由条件利用三角恒等变换化简可得 22sin2A2cos2B=2sin2A，求得cos2B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值（2）由b=a，可得B=60再由正弦定理可得解答： 解：（1）在ABC中，cos2Acos2B=2（cosA+sinA）（cosAsinA）=2（cos2Asin2A）=cos2Asin2A=2sin2A又因为 cos2Acos2B=12sin2A（2cos2B1）=22sin2A2cos2B，22sin
28、2A2cos2B=2sin2A，cos2B=，cosB=，B=或（2）b=a，B=，由正弦=2，得a=2sinA，c=2sinC，故ac=2sinAsinC=2sinAsin（A）=sinAcosA=sin（A），因为ba，所以A，A，所以ac=sin（A），）点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题18（12分）（2015梧州一模）随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多，某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M（文化）、N（面试）两
29、个考核内容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地学校的保送生，假设每位同学完成每个方案中的M、N两个考核内容的得分是相互独立的，根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如表：表1：甲方案考核内容 M（文化） N（面试）得分 100 80 50 20概率 表2：乙方案考核内容 M（文化） N（面试）得分 90 60 30 10概率 已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资格的概率；（2）若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX考点
30、： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题： 概率与统计分析： （1）若该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案这是因为选择甲方程最高得分为150分125分，可能获得第一名即保送资格而选择乙方案，最高得分为120分125分，不可能获得第一名即保送资格记“该同学完成考核M得100分”为事件A，“该同学完成考核N得50分”为事件B，则P（A）=，P（B）=，由此能求出在该方案下获得保送资格的概率（2）若该同学选择乙方案，则X的可能取值为120，100，90，70，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望解答： 解：（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案理由如下：选择
31、甲方程最高得分为：100+50=150分125分，可能获得第一名即保送资格而选择乙方案，最高得分为：90+30=120分125分，不可能获得第一名即保送资格记“该同学完成考核M得100分”为事件A，“该同学完成考核N得50分”为事件B，则P（A）=，P（B）=，记“该同学获得保送资格”为事件C，则P（C）=P（AB）+P（）=，在该方案下获得保送资格的概率为（2）若该同学选择乙方案，则X的可能取值为120，100，90，70，则P（X=120）=，P（X=100）=，P（X=90）=，P（X=70）=，X的分布列为：X 120 100 90 70 P EX=115点评： 本题考查概率的求法及应
32、用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型19（12分）（2013河南模拟）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC（1）求证：ACBB1；（2）若AB=AC=A1B=2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法 专题： 空间角分析： （1）根据线面垂直的性质先证明AC平面ABB1A1，即可证明ACBB1；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到结论解答： 解：（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，因为A1B平面AB
33、C，A1B平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面ABC，因为平面ABB1A1平面ABC=AB，ABAC，所以AC平面ABB1A1，所以ACBB1（2）如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），则=（2，2，0），设，0，1，则P（2，42，2），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），因为，即，所以，令x=1得=（1，0，），而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则|cos，|=，解得，即P为棱B1C1的中点点评： 本题主要考查线面垂直的判断和性质，以及二面角的应用，建立空间直角坐标系利用向量法是解决本题
34、的关键20（13分）（2015济南一模）已知抛物C的标准方程为y2=2px（p0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为（）求抛物线C的标准方程；（）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由考点： 抛物线的简单性质 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为可得SMON=2p=，解得p即可（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为
35、：x=my+a，与抛物线方程联立可得y26my6a=0，得到根与系数的关系由对称性，不妨设m0，（i）a0时，可知y1，y2同号又t=+，得到t2=，可得不论a取何值，t值与M点位置有关（ii）a0时，由于y1，y2异号又t=+，可得t2=，可得仅当1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为一个“稳定点”解答： 解：（I）当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为SMON=2p=，解得p=3抛物线C的标准方程为y2=6x（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，联立化为y26my6a=0，0，y1+y2=6m，y1y2=6a由对称性，不妨
36、设m0（i）a0时，y1y2=6a0，y1，y2同号又t=+，t2=，不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”（ii）a0时，y1y2=6a0，y1，y2异号又t=+，t2=，仅当1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”点评： 本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）（2015南昌校级二模）已知函数f（x）=lnxmx2，g（x）=+x，mR令F（x）=f（x）+g（x）（）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x
37、的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可注意对函数的构造解答： 解：（1）由f（x）0得1x20又x0，所以0x1所以f（x）的单增区间为（0，1）（2）令x+1所以=当m0时，因为x0，所
38、以G（x）0所以G（x）在（0，+）上是递增函数，又因为G（1）=所以关于x的不等式G（x）mx1不能恒成立当m0时，令G（x）=0得x=，所以当时，G（x）0；当时，G（x）0因此函数G（x）在是增函数，在是减函数 故函数G（x）的最大值为令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=又因为h（m）在m（0，+）上是减函数，所以当m2时，h（m）0所以整数m的最小值为2 （3）当m=2时，F（x）=lnx+x2+x，x0由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即化简得令t=x1x2，则由（t）=tlnt得（t）=可知（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）=1所以，即成立点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法属于中档题，难度不大