1、题组层级快练(六十八)1若过抛物线y2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2()A2BC4 D答案D解析由y2x2，得x2y.其焦点坐标为F(0，)，取直线y，则其与y2x2交于A(，)，B(，)，x1x2()().2设离心率为e的双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()Ak2e21 Bk2e21 De2k21答案C解析l与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是k，即k21，故选C.3已知椭圆x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A3 B2C. D.答案C解析设y1k(
2、x1)，ykx1k.代入椭圆方程，得x22(kx1k)24.(2k21)x24k(1k)x2(1k)240.由x1x22，得k，x1x2.(x1x2)2(x1x2)24x1x24.|AB|.4已知抛物线y2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，那么m的值等于()A. B.C2 D3答案A解析因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2x2上，所以y12x，y22x，两式相减，得y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为0，所以(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k2(x11)(
3、x21)0，(1k2)x1x2(k21)(x1x2)k210.把代入并整理，得k2.又k0，所以k，故选B.7已知抛物线y28x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，|AB|8，则实数a的取值范围是_答案20，20，b0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线yx对称，则该双曲线的离心率为_答案解析由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y对称，则PF1PF2.又，联立|PF2|PF1|2a，|PF2|2|PF1|2(2c)2，可得b3a2b2c2a.所以b2a，e.10抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2
4、，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值答案(1)2(2)4解析(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小
5、，最小值是4.11.(2015四川成都七中适应性训练)如图所示，设抛物线C1：y24x的准线与x轴交于点F1，焦点F2.椭圆C2以F1和F2为焦点，离心率e.设P是C1与C2的一个交点(1)求椭圆C2的方程；(2)直线l过C2的右焦点F2，交C1于A1，A2两点，且|A1A2|等于PF1F2的周长，求直线l的方程答案(1)1(2)y(x1)或y(x1)解析(1)由条件，F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C2的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为知长半轴长为2，从而C2的方程为1.(2)由(1)可知PF1F2的周长|PF1|PF2|F1F2|6.又C1：y24x，而F2(1,0)若l垂直于x轴，
6、易得|A1A2|4，矛盾，故l不垂直于x轴，可设其方程为yk(x1)，与C1方程联立可得k2x2(2k24)xk20，从而|A1A2|x1x2|.令|A1A2|6可解出k22，故l的方程为y(x1)或y(x1)12(2014陕西文)已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程答案(1)1(2)yx或yx思路(1)构造关于a，b，c的方程组；(2)利用直线与圆的位置关系得|CD|，直线的方程与椭圆方程联立得方程组，利用根与系数
7、的关系得|AB|，构造关于m的方程求m，进而得出直线l的方程解析(1)由题设知解得椭圆的方程为1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d.由d1，得|m|.(*)|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230.由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB|.由，得1，解得m，满足(*)直线l的方程为yx或yx.13(2014辽宁理)圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)双曲线C1：1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线
8、l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程答案(1)x21(2)x(1)y0或x(1)y0思路(1)先求切线方程，再利用条件列出方程组求解字母的值；(2)利用关系设出椭圆方程，再利用直线与椭圆的位置关系求解解析(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)由题意知解得故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1.解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40.将代入整理，得2m22m4110.解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.