1、第节直线的倾斜角、斜率与方程 【选题明细表】知识点、方法题号直线的倾斜角与斜率1、3直线方程的求法7、8、11、12直线方程的应用2、4、5、6、9、10、11一、选择题1.已知两点A(-3,),B(,-1),则直线AB的斜率是(D)(A)(B)-(C)(D)-解析:斜率k=-,故选D.2.(2012佛山一检)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(D)(A)1(B)-1(C)-2或-1(D)-2或1解析:当a=0时,y=2不合题意.a0,x=0时,y=2+a.y=0时,x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.3.直线xcos +y+2=0的倾斜角的取值范围
2、是(C)(A) (B)(C)(D)解析:由直线的方程可知其斜率k=-,设直线的倾斜角为,则tan ,且0,),所以.故选C.4.若0,sin 0,由直线方程截距式知直线过第一、三、四象限.故选B.5.(2012金华模拟)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是(D)(A)k (B)k-2(C)k或k-2(D)-2k解析:由已知直线l恒过定点P(2,1),如图所示. 若l与线段AB相交,则kPAkkPB,kPA=-2,kPB=,-2k.故选D.6.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(B
3、)解析:l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a.可知l1的斜率是l2的纵截距,l1的纵截距是l2的斜率.在选项A中,l1的纵截距为正,而l2的斜率为负,不合题意,排除选项A.同理可排除选项C、D,故选B.二、填空题7.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.解析:由题意知截距均不为零.设直线方程为+=1,由解得或.故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0.答案:x+y-3=0或x+2y-4=08.过点(3,0)且倾斜角是直线x-2y-1=0的倾斜角的两倍的直线方程为.解析:设直线x-2y-1=0的倾斜角为,则tan =.所求直线的斜率k=tan 2=.故直线
4、方程为y-0=(x-3),即4x-3y-12=0.答案:4x-3y-12=09.(2012湖州模拟)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是.解析:法一直线AB的方程为+=1,P(x,y),则x=3-y,xy=3y-y2=(-y2+4y)=-(y-2)2+43.法二由于动点P(x,y)在直线AB:+=1上,则x、y值不同时为负数.若xy取最大值,则x、y同时为正数,则xy=1212（）2=3.答案:310.已知直线l经过点,其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数),则使a+bc恒成立的c的取值范围为.解析:依题意知直线l方程为+=1,由于直线l过点,
5、+=1,a+b=(a+b)=+,故c.答案:三、解答题11.(2012西安模拟)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.解:(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距均为零.即a=2,方程为3x+y=0.当直线不过原点,即a2时,截距存在且均不为0,则=a-2,即a+1=1,a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,若直线不过第二象限,则a-1.即a的取值范围是(-,-1.12.如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45和30角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程. 解:由题意可得kOA=tan 45=1,kOB=tan(180-30)=-,所以射线OA的方程为y=x(x0),射线OB的方程为y=-x(x0).设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C,由点C在y=x上,且A、P、B三点共线得解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以kAB=kAP=,所以直线AB的方程为y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.