1、2020-2021学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1复数z（其中i是虚数单位）的虚部是（）A1BiC1Di2下列求导运算正确的是（）AB（cosx2）sinx2CD3函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）4A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（）种A24B36C48D605甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5
2、名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5人的名次排列有（）种不同情况A36B54C72D816以模型ycekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设zlny，其变换后得到线性回归方程z0.3x+4，则c（）A0.3Be0.3C4De47甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（）A0.18B0.21C0.39D
3、0.428若x2x11，则（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9下列叙述正确的是（）A回归直线一定过样本点的中心（，）B在回归分析中，R20.80的模型比R20.98的模型拟合的效果好C在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好D某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（）的关系，得到回归方程，则气温为2时，一定可卖出142杯热饮10已知两种不同型号的电子元件（分别记为X，Y）的使用寿命均服从正态分布XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如
4、图所示，下列结论中正确的是（）（参考数据：若ZN（，2），则P（Z+）0.6827，P（2）Z+2）0.9545）A12B12CP（Y2）P（Y1）DP（11X1+21）0.818611在复平面内，复数za+bi对应向量为（O为坐标原点，a，bR）设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则zr（cos+isin）数学家棣莫弗发现：设z1r1（cos1+isin1），z2r2（cos2+isin2），则z1z2r1r2cos（1+2）+isin（1+2，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：znr（cos+isin）nrn（cosn+isinn）（nN*），根据以上信息
5、，下列说法正确的是（）A当r1，时，z31B当r1，时，iC|z2|z|2D当r1，时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数12若函数的图象和直线yax有四个不同的交点，则实数a的取值可以是（）A4B2C0D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13曲线yx2x在点P（1，2）处的切线方程为 14新型冠状病毒疫情期间，4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，总共有 种不同安排方法（用数字作答）15（1+3x）6（1x）3的展开式中x2的系数为 16某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料每个瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径已知每出售1mL的饮
6、料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当瓶子的半径r cm时，每瓶饮料的利润最大，最大值为 分（结果保留）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知二项式（12x）n，若选条件_（填写序号），（1）求展开式中含x3的项；（2）设（12x）na0+a1x+a2x2+anxn，求展开式中奇次项的系数和请在：只有第4项的二项式系数最大；第2项与第6项的二项式系数相等；所有二项式系数的和为64这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答18已知函数f（x）x3+ax2+bx+2，f（x）的极值点分别为x11，x23（1）求a
7、，b的值；（2）求函数f（x）的极值19一个箱子中装有4个红球和3个白球，那么：（1）一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的慨率；（2）一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球个数X的期望与方差20为响应“没有全民健康，就没有全面小康”的号召，社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动，活动分为徒手运动和器械运动两大类该社区对所有参与活的1000人进行了调查其中男性600人中有180人参加徒手运动，女性中有320人参加器械运动（1）根据以上提供的信息，完成22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择器械运动与性别有关系？器械
8、运动徒手运动总计男性女性总计（2）将上述调查所得的频率视为概率，为了进一步弄清选徒手运动的影响因素，准备进行抽样调查，现从选徒手运动的人中按分层抽样的方法抽取13人，再从这13人中任意抽取3人进行访谈，记抽取3人中参加徒手运动的女性人数为与，求的概率分布列附：临界值表：P（K2k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82821某地位于甲、乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，（假设两河流发生洪水与否互不影响），现有一台大型设备正在该地施工，为了保护设备，
9、施工方提出以下三种方案：方案一：运走设备需要花费5000元；方案二：建防洪设施，需要花费2000元，但防洪设施只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失56000元；方案三：不采取措施，当两条河流同时发生洪水时损失60000元，只有一条河流发生洪水时，损失10000元（1）求今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率；（2）试比较哪一种方案更好，说明理由22已知函数f（x）exax+x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x2+1恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1复数z（其中i是虚数单位）的虚部是（）A1B
10、iC1Di解：z，复数z的虚部是1故选：C2下列求导运算正确的是（）AB（cosx2）sinx2CD解：（x2+ln2）2x，A错；（cosx2）sinx2（x2）2xsinx2，B错；（），C对；（）（x+1）（x+1），D错故选：C3函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（3）f（2）f（2）C0f（3）f（2）f（3）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）解：设x2，x3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，则f（3）f（2），f（3）kBQ，f（2）kAT，因为切线BQ的倾斜角小于直线AB
11、的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，所以kBQkABkAT，即0f（3）f（3）f（2）f（2）故选：B4A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（）种A24B36C48D60解：根据题意，分2步进行分析：A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种顺序，将AB整体与C、D、E全排列，有24种情况，则有12424种排法；故选：A5甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5人的名次
12、排列有（）种不同情况A36B54C72D81解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A336种情况，此时有3618种名次排列情况；、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A326种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A336种情况，此时有6636种名次排列情况；则一共有36+1854种不同的名次排列情况，故选：B6以模型ycekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设zlny，其变换后得到线性回归方程z0.3x+4，则c（）A0.3Be0.3C4De4解：ycekx，
13、两边取对数，可得lnyln（cekx）lnc+lnekxlnc+kx，令zlny，可得zlnc+kx，z0.3x+4，lnc4，ce4故选：D7甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（）A0.18B0.21C0.39D0.42解：根据题意，若甲队以3：1获胜，则甲队在第四局获胜，前三局中获胜2局，则甲队以3：1获胜的概率P0.60.6（10.5）0.5+0.6（10.6）0.50.5+（10.6
14、）0.60.50.50.21；故选：B8若x2x11，则（）ABCD解：令f（x）ex3lnx，则f（x），在同一坐标系中画出yex与y的图象如图，由图可知，存在a（1，+），当x（1，a）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（a，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，与3lnx23lnx1的大小关系不确定，故AB错误；令g（x），则g（x），当x1时，g（x）0，g（x）单调递增，x2x11，即，故C正确，D错误故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9下列叙述正确的是（）A回归
15、直线一定过样本点的中心（，）B在回归分析中，R20.80的模型比R20.98的模型拟合的效果好C在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好D某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（）的关系，得到回归方程，则气温为2时，一定可卖出142杯热饮解：对于A，回归直线一定过样本点的中心（，），故A正确；对于B，相关系数R2越大，说明拟合效果越好，故B错误；对于C，在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，说明模型的拟合效果越好，故C正确；对于D，把x2代入回归方程，可得，说明气温为2时，预测可卖出142杯热饮，故D错误故选：AC10已知两种不同型号的电
16、子元件（分别记为X，Y）的使用寿命均服从正态分布XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（）（参考数据：若ZN（，2），则P（Z+）0.6827，P（2）Z+2）0.9545）A12B12CP（Y2）P（Y1）DP（11X1+21）0.8186解：由图可知，Y的正态分布密度曲线的对称轴大于X的正态分布密度曲线，u1u2，故A选项错误，Y的正态分布密度曲线数据分布的离散程度大于X的正态分布密度曲线的分布的离散程度，12，故B选项正确，由正态分布密度曲线，可知u1u2，可得P（Y2）P（Y1），故C选项正确，P（11X1+21）（0.6827+0.95
17、45）0.8186，故D选项正确故选：BCD11在复平面内，复数za+bi对应向量为（O为坐标原点，a，bR）设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则zr（cos+isin）数学家棣莫弗发现：设z1r1（cos1+isin1），z2r2（cos2+isin2），则z1z2r1r2cos（1+2）+isin（1+2，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：znr（cos+isin）nrn（cosn+isinn）（nN*），根据以上信息，下列说法正确的是（）A当r1，时，z31B当r1，时，iC|z2|z|2D当r1，时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数解：对于A，当r1，
18、时，z3（cos+isin）3cos3+isin3cos+isin1，故选项A错误；对于B，当r1，时，所以，故选项B正确；对于C，zr（cos+isin），则z2r2（cos2+isin2），所以|z2|r2（cos2+isin2）|r2，又|z|2|r（cos+isin）|2r2，所以|z2|z|2，故选项C正确；对于D，当r1，时，zn（cos+isin）ncosn+isinn，取n4时，则n为偶数，此时z4cos+isin1不是纯虚数，故选项D错误故选：BC12若函数的图象和直线yax有四个不同的交点，则实数a的取值可以是（）A4B2C0D解：当x0时，由f（x）ax得2x2lnxax
19、，得a2xlnx，当x0时，由f（x）ax得x34x2ax，此时x0是方程的一个根，当x0时，ax4x，设h（x），当x0时，h（x）2lnx+2x2lnx+22（1+lnx），由h（x）0得1+lnx0得lnx1，得x此时函数为增函数，由h（x）0得1+lnx0得lnx1，得0x，此时函数为减函数，即当x时，h（x）取得极小值h（）2ln，当x0时，h（x）x24x（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线yax有四个不同的公共点，等价为h（x）与ya有3个不同的交点，则a满足a0或0a4，即实数a的取值范围是（，0）（0，4），故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5
20、分，共20分13曲线yx2x在点P（1，2）处的切线方程为 3x+y+10解：由yx2x，得y2x1，则y|x13，曲线yx2x在点P（1，2）处的切线方程为y23（x+1），即3x+y+10故答案为：3x+y+1014新型冠状病毒疫情期间，4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，总共有 36种不同安排方法（用数字作答）解：将4位志愿者分成3组，有种不同的方法，将3组志愿者分配到3个不同的路口，有种不同的方法，所以，共有6636种不同的安排方法故答案为：3615（1+3x）6（1x）3的展开式中x2的系数为 84解：（1+3x）6（1x）31+3x+（3x）2+（3x）
21、6（13x+3x2x3），故它的展开式中x2的系数为13+63（3）+984，故答案为：8416某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料每个瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当瓶子的半径r6cm时，每瓶饮料的利润最大，最大值为 28.8分（结果保留）解：设瓶子半径为r时，每瓶饮料的利润是：f（r）0.2r30.8r20.8（r2）.0r6，f（r）0.8（r22r），令f（r）0，得r2或r0（舍去），当r（0，2）时，f（r）0，f（r）单调递减，当r（2，6）时，f（r）0，f（r
22、）单调递增，r0时，f（r）0；r6时，f（6）28.8，故半径为6cm时，利润最大为28.8故答案为：6，28.8四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知二项式（12x）n，若选条件_（填写序号），（1）求展开式中含x3的项；（2）设（12x）na0+a1x+a2x2+anxn，求展开式中奇次项的系数和请在：只有第4项的二项式系数最大；第2项与第6项的二项式系数相等；所有二项式系数的和为64这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答解：选，由只有第4项的二项式系数最大，可知，展开式共有7项，所以n6，选，由第2项与第6项的二项式系数相等，
23、可知，所以n6，选，由所有二项式系数的和为64，可知2n64，可得n6，所以二项式可化为（12x）6，（1），令r3，展开式中含x3的项为160x3，（2）令x1，则（121）6a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a71，令x1，则12（1）6a0a1+a2a3+a4a5+a6a736，展开式中奇次项的系数和为a0+a2+a4+a636518已知函数f（x）x3+ax2+bx+2，f（x）的极值点分别为x11，x23（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值解：（1）f（x）3x2+2ax+b，因为f（x）的极值点分别为x11，x23，所以1，3是方程3x2+2ax+b0的根，所以1
24、+3，13，解得a3，b9（2）由（1）知f（x）x33x29x+2，f（x）3x26x9，令f（x）0得x1或3，在（，1），（3，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，在（1，3）上，f（x）0，f（x）单调递减，所以f（x）极大值f（1）7，f（x）极小值f（3）2519一个箱子中装有4个红球和3个白球，那么：（1）一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的慨率；（2）一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球个数X的期望与方差解：（1）在已知它们颜色相同的情况下，该颜色是红色的慨率为；（2）由题意可知，一次取出1个球，取得红球的概率为，取出后记录颜
25、色并放回箱中，取球3次，则X的可能取值为0，1，2，3，且XB（3，），所以E（X）np3，D（X）np（1p）20为响应“没有全民健康，就没有全面小康”的号召，社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动，活动分为徒手运动和器械运动两大类该社区对所有参与活的1000人进行了调查其中男性600人中有180人参加徒手运动，女性中有320人参加器械运动（1）根据以上提供的信息，完成22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择器械运动与性别有关系？器械运动徒手运动总计男性女性总计（2）将上述调查所得的频率视为概率，为了进一步弄清选徒手运动的影响因素，准备进行抽样调查，现从选徒
26、手运动的人中按分层抽样的方法抽取13人，再从这13人中任意抽取3人进行访谈，记抽取3人中参加徒手运动的女性人数为与，求的概率分布列附：临界值表：P（K2k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列联表为 器械运动徒手运动总计男性 420 180600 女性32080400合计 740260 10007.879，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择器械运动与性别有关系（2）选取的13人中，男性人，女性人的所有可能取值为0，1，2，3P（0）；P（1）；P（2）；P（3）；所以的分布列为：0 1 2 3 P
27、 21某地位于甲、乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，（假设两河流发生洪水与否互不影响），现有一台大型设备正在该地施工，为了保护设备，施工方提出以下三种方案：方案一：运走设备需要花费5000元；方案二：建防洪设施，需要花费2000元，但防洪设施只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失56000元；方案三：不采取措施，当两条河流同时发生洪水时损失60000元，只有一条河流发生洪水时，损失10000元（1）求今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率；（2）试比较哪一种方案更好，说明理由解：
28、（1）由题意，甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，则甲、乙两条河流均不发生洪水的概率为（10.25）（10.2）0.6，所以今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率为10.60.4；（2）方案一：花费5000元；方案二：建防洪设施，需要花费2000元，但防洪设施只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失56000元，两条河流都发生洪水的概率为P0.250.20.05，所以该方案中可能的花费为2000+560000.054800元；方案三：设损失费为X，则X的可能取值为10000，60000，0，所以P（X10000）0.250.8+0.750
29、.20.35，P（X60000）0.250.20.05，P（X0）（10.25）（10.2）0.6，所以E（X）100000.35+600000.05+00.66500元因为480050006500，所以方案二最好22已知函数f（x）exax+x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x2+1恒成立，求实数a的取值范围解：（1）f（x）exa+1，当a+10，即a1时，f（x）0在（，+）上恒成立，所以f（x）在（，+）上单调递增，当a+10，即a1时，在（ln（a1），+）上，f（x）0，f（x）单调递增，在（，ln（a1）上，f（x）0，f（x）单调递减，（2）因为当x0时，f（x）x2+1恒成立，所以当x0时，exax+xx2+1恒成立，所以当x0时，a恒成立，令g（x），g（x），令h（x）exx1，h（x）ex1，当x0时，h（x）0，h（x）单调递增，当x0时，h（x）0，h（x）单调递减，所以h（x）h（0）0，所以当x1时，g（x）0，g（x）单调递增，当x1时，g（x）0，g（x）单调递减，所以g（x）ming（1）e1，所以ae1，故a的取值范围（，e1