1、 第九章 圆锥曲线一基础题组1. 【辽宁省抚顺市第一中学2016届高三10月月考10】已知双曲线 的一条渐近线方程为，分别为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上的一点，则的值是（ ）A4 B C D【答案】C考点：双曲线的定义、渐近线及向量的综合应用。2. 【嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试7】设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设，则， ，为直角三角形，,，故选C考点：双曲线的简单性质【思路点睛】本题考查双曲线的标准方程与性质,考查双曲线的定义,解题的关键是确
2、定；设，计算出，再利用勾股定理，即可建立的关系，从而求出的值.二能力题组1. 【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试7】如图，已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线右支上的一点，与轴交于点的内切圆在边上的切点为，若|，则双曲线的离心率是 ( ) A3 B C D【答案】B2. 【临川一中20152016年度第一学期高三期中考试12】已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别是、已知点坐标为，双曲线上点（，）满足，则（ ）A B C D【答案】C考点：1、双曲线的定义与性质；2、点到直线的距离； 3、平面向量的数量积【规律总结】（1）圆锥曲线与平面向量的综合，通常是将向量表示为坐标形式
3、，然后利用向量运算转化为代数运算进行求解；（2）圆锥曲线中的面积问题通常涉及到三角形的面积，而求三角形面积的关键是确定底边和高的长3.【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试10】平面直角坐标系中，已知，动点，线段的垂直平分线与直线的交点为，设的轨迹为曲线，则的方程为 ，A、B、C为曲线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 个。【答案】,无数个考点：抛物线的定义及性质.4. 【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试19】 （本小题满分15分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，的最大值为，的最小值为，满足。（）若线段垂直于轴时，求椭圆的方程
4、；（） 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围。【答案】（）（）试题解析：() 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，又且，得，因此椭圆的方程为：（4分）()由()可知，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是.考点：椭圆的综合问题.5. 【西藏日喀则地区一高2015学年第一学期10月检测20】 椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有
5、一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在两个定点，【解析】试题分析：（1）由题设可得，又点P在椭圆C上，可得，又，由联立解得c，b2，即可得解（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（），由=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立由即可求出这两个定点的坐标试题解析：（1），由题设可知，得 1分又点在椭圆上， 3分联立解得，4分故所求椭圆的方程为5分总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于12分考点：1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程【方法
6、点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证.6. 【兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中20】 己知A、B、C是椭圆C：(ab0)上的三点，其中点A的坐标为，BC 过椭圆的中心，且，.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0, t)的直线l (斜率存在时)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）且过，则，即 2分又，设椭圆的方程为，代入C点坐标得，椭圆的方程为 -
7、5分（2）由条件D(0,-2)，当k=0时，显然； -6分当时，设：，由，消得由可得， -8分设，中点，则，, -10分由，即. ，化简得 将代入得，. 的范围是.综上 -12分考点：1椭圆方程;2直线与椭圆的位置关系问题.三拔高题组1. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考19】（本小题满分12分）如图，有一矩形钢板缺损了一角，边缘线上每一点到点的距离都等于它到边的距离工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若，为了方便，如图建立直角坐标系，问如何画切割线可使剩余部分五边形的面积最大？ 【答案】点的坐标分别为，此时沿直线划线可使五边形的面积最大试题解析：由题知，边
8、缘线是以点为焦点，直线为准线的抛物线的一部分 以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则， 边缘线所在抛物线的方程为2分 要使如图的五边形面积最大，则必有所在直线与抛物线相切，设切点为则直线的方程为，即，由此可求得点的坐标分别为， 4分所以，7分所以显然函数在上是减函数，在上是增函数9分 所以当时，取得最小值，五边形的面积最大10分此时点的坐标分别为 此时沿直线划线可使五边形的面积最大12分考点：2. 【江苏省泰州中学2016届第一学期高三第二次月考17】 如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量，其中半径较大的花坛内切于扇形，半径较
9、小的花坛与外切，且与、相切（1） 求半径较大的花坛的半径（用表示）；（2） 求半径较小的花坛的半径的最大值 【答案】（1）；（2）10 （2），10分令，令，所以当时，有最大值1014分答：的半径的最大值为1015分考点：1.两圆相切的判定；2.解直角三角形3. 【辽宁省抚顺市第一中学2016届高三10月月考20】 已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（）求椭圆C的方程；（）设直线，与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围.【答案】(1);(2).（2）设A，B，P点的坐标分别为由A，
10、B在椭圆上，可得（1）-（2）整理得： （3）由已知可得，所以由已知当，即 (6)把（4）（5）（6）代入（3）整理得7分与联立消整理得9分由得，所以11分因为，得，有故12分考点：求椭圆方程；直线与椭圆的综合问题。【方法点睛】圆锥曲线题目的第一问常求曲线方程，一般方法是待定系数法。例本题：设椭圆方程为（）,然后列出关于a,b的方程组求解即可。此题也告诉我们应该熟悉椭圆通经的概念，过焦点且垂直椭圆长轴的弦为通经，其长为.第二问，直线与椭圆的综合问题，常将直线代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，再结合条件列出关于k的函数，最后求值域即可。但注意对于中点弦问题，也常用点差法求解（本题就用了点差法
11、）。4. 【嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试18】平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.（）求椭圆的方程；（）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形ACBD面积的最大值.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）设利用点差法即可求得，由直线AB：的斜率k=-1，所以，OP的斜率为，所以，由即可求出结果（）若四边形的对角线，由面积公式可知，当CD最长时四边形面积最大，由直线AB：的斜率k=-1，设CD直线方程为，与椭圆方程联立得： ，则，当m=0时CD最大值为4，同理利用弦长公式，即可求出结果.（）若四边形的对角线，由面积公式可知，当CD最长时四边形面积最大
12、，由直线AB：的斜率k=-1，设CD直线方程为，与椭圆方程联立得： ，则，当m=0时CD最大值为4，联立直线AB：与椭圆方程得，同理利用弦长公式，考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”.求点差法的一般步骤：二次曲线上两点，设的中点，的斜率为。由（1）（2）得，又这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式；即已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标。同时也告诉我们当题目问
13、题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”。5. 【临川一中20152016年度第一学期高三期中考试21】在直角坐标平面内，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交轨迹于两点,交直线于点,已知,试判断是否为定值,若是,求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) ；(2) ，理由见解析 (2)设过的直线为，由 得， ，又,得 得，所以.12分考点：1、轨迹方程；2、直线与抛物线的位置关系；3、平面向量的数量积【方法提炼】圆锥曲线的定值解答主要从两个方面考虑：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量
14、无关；（2）直接推理、计算，将需要考察的相关量用设定的或题中给出的参数表示出来，再将欲证的这些几何量之间的关系式化简为一个与参数无关的式子，从而得到定值（定点）.6. 【长春外国语学校2016届上学期高三第一次质量检测21】（本小题满分12分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（，).（1）求椭圆方程；（2）设不过原点的直线：，与该椭圆交于、两点，直线、的斜率依次为、，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）当变化时，为定值.【解析】试题分析：（1）直接由题意可列出关于的方程组，解之即可求出所求椭圆方程；（2）首先设出点的坐标，然后联立直线与椭圆C的方程，消去参数并整理可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，结合已知条件，可得关于之间的等式关系，进而可求出的值，从而得出结论.试题解析：（1）依题意可得解得所以椭圆C的方程是 （2）当变化时，为定值，证明如下：由得，. 设P，Q.则， 直线OP、OQ的斜率依次为，且,，得,将代入得：，经检验满足. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、圆锥曲线的定值问题.