1、综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.若abc,则下列结论中正确的是(C)(A)a|c|b|c|(B)abac(C)a-c解析:选项A中c=0时不成立,选项B中a0时不成立,选项D中取a=-2,b=-1,c=1验证,不成立,故选C.2.(2013福州高二检测)在ABC中,已知a2=b2+c2-bc,则角A等于(A)(A)60(B)45(C)120(D)30解析:a2=b2+c2-bc,bc=b2+c2-a2,cos A=.又0A180,A=60.故选A.3.(2013金乡一中高二检测)等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7+a
2、8+a9=420,则a2+a10等于(B)(A)100(B)120(C)140(D)160解析:a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6,a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=7a6=420,a6=60,a2+a10=2a6=120.故选B.4.(2013潮州市高二检测)在ABC中,已知角B=45,c=2,b=,则角A的值是(D)(A)15(B)75(C)105(D)75或15解析:由正弦定理,=,得sin C=,C=60或120,A=180-45-60=75或A=180-120-45=15.故选D.5.(2014南阳高二期末)已知数列an满足(n+2)an+1=(n+1)an,且a2=
3、,则an等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:(n+2)an+1=(n+1)an,=,又a2=,a1=,a3=,经验证只有选项A符合.故选A.6.(2014宣城高二期末)设变量x,y满足约束条件则的最大值为(A)(A)6(B)3(C)(D)1解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,A(1,6),kOA=6,故选A.7.(2014桂林高二期末)已知ABC中,三内角A、B、C成等差数列,边a、b、c依次成等比数列,则ABC是(B)(A)直角三角形(B)等边三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形解析:由A、B、C成等差数列,可得B=60,不妨设A=60-,C=60+(060),由a,b,c成等
4、比数列,得b2=ac,由正弦定理得sin2B=sin Asin C,=sin(60-)sin(60+),=(sin 60cos )2-(cos 60sin )2,=cos2-sin2,(1-cos2)=-sin2,sin2=0,=0,A=B=C,故选B.8.(2014新余高二期末)在ABC中,三边a,b,c成等差数列,B=30,且ABC的面积为,则b的值是(D)(A)1+(B)2+(C)3+(D)解析:a,b,c成等差数列,b=,又acsin B=,ac=2,又b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac,3b2=4+2,b2=,b=.故选D.9.(2014济南历城高二期末)
5、在ABC中,角A、B、C所对的边为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则角B的范围是(B)(A)0B(B)0B(C)B(D)B解析:a,b,c成等差数列,b=,cos B=-1-1=,又0B,0B,故选B.10.(2013福建师大附中高二检测)已知a、b为正实数,且+=2,若a+b-c0对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为(A)(A)(-,+(B)(-,3(C)(-,6(D)(-,3+2解析:a+b-c0恒成立ca+b恒成立,a+b=(+)(a+b)=(3+)(3+2)=+,(当且仅当=且+=2,即时取“=”)c(a+b)min=+.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2
6、0分)11.(2013年高考安徽卷)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C等于.解析:由3sin A=5sin B得a=b,又因b+c=2a,得c=2a-b=b-b=b,所以cos C=-,则C=.答案:12.(2013厦门六中高二期中)已知数列an:,+,+,+,那么数列的前n项和为.解析:观察数列an可知,an=+=,=4(-),的前n项和为:4(1-)+4(-)+4(-)=4(1-+-+-)=4(1-)=.答案:13.已知ABC的面积为,且sin A=,则+的最小值为.解析:依题意bcsin A=,bc=4,于是+=(2b+
7、c)2=,当且仅当b=,c=2时取等号.即+的最小值是.答案:14.不等式组表示的区域的面积记为f(k),则f(k)的最小值为.解析:不等式组表示的区域是一个直角三角形,如图所示.对于直线方程kx-y-2k+1=0,令x=0,得y=1-2k,令y=0,得x=2-,则区域的面积为f(k)=(2-)(1-2k)=4+(-4k)4+2=4(k0).(当且仅当-=-4k即k=-时等号成立)答案:4三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(本小题满分13分)(2014日照高二期末)公差不为零的等差数列an中,a3=7,且a2,a4,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,求数列b
8、n的前n项和Sn.解:(1)由数列an为公差不为零的等差数列,设其公差为d,且d0.a2,a4,a9成等比数列,=a2a9,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),整理得d2=3a1d.d0,d=3a1.a3=7,a1+2d=7. 由解得a1=1,d=3,an=1+(n-1)3=3n-2.故数列an的通项公式是an=3n-2.(2)由(1)知bn=23n-2,=8,bn是等比数列,且公比为8,首项b1=2,Sn=.16.(本小题满分13分)(2014德州联考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bsin C+ccos B.(1)求角C;(2)若c=4,求ABC面积的最
9、大值.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bsin C+sin Ccos B. 又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,得sin C=cos C.因为C(0,),所以C=.(2)由已知及余弦定理得16=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab(2-)ab.(当且仅当a=b时取等号)故ab=8(2+).SABC=absin C=ab8(2+)=4(+1).即ABC面积的最大值为4(+1).17.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)2,均有f(x)(m+2)x-m-15成
10、立,求实数m的取值范围.解:(1)g(x)=2x2-4x-160,(2x+4)(x-4)0,-2x4,不等式g(x)0的解集为x|-2x2时,f(x)(m+2)x-m-15恒成立,x2-2x-8(m+2)x-m-15,即x2-4x+7m(x-1).对一切x2,均有不等式m成立.而=(x-1)+-22-2=2.(当且仅当x-1=即x=3时等号成立)实数m的取值范围是(-,2.18.(本小题满分13分)(2014马鞍山质检)已知函数f(x)=2sin xcos x-3sin2x-cos2x+2.(1)求f(x)的最大值;(2)若ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=,=2+2cos
11、(A+C),求f(B)的值.解:(1)f(x)=sin 2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x)=sin 2x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).f(x)的最大值是2.(2)由条件得sin(2A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C),sin Acos (A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos (A+C)化简得sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a.又b=a,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A=3a2+4a2-4a2cos Acos A=A=,B=,C=,f(B)=f()=
12、2sin =1.19.(本小题满分14分)(2014日照高二期末)小王在年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25-x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)解:(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x-
13、6x+2-50,(0x10,xN),即y=-x2+20x-50,(00,解得10-5x10+5,而210-53,故从第3年开始运输累计收入超过总支出.(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为=y+(25-x)=(-x2+19x-25)=19-(x+),而19-(x+)19-2=9,当且仅当x=5时取得等号.即小王应当在第5年底将大货车出售,才能使年平均利润最大.20.(本小题满分14分)(2014淄博高二期末)数列an的前n项和为Sn,a1=2,Sn=an+1-1(nN*)(1)求a2,a3;(2)求数列an的通项an;(3)求数列nan的前n项和Tn.解:(1)n=1,S1=a2-1=a1a2=6,n=2,S2=a3-1=a1+a2a3=18.(2)n2,Sn=an+1-1,Sn-1=an-1,相减得an=Sn-Sn-1=an+1-an,即an+1=3an,对于a2=3a1也满足上式.数列an是首项为2,公比为3的等比数列,故an=23n-1(nN*).(3)nan=2n3n-1,Tn=21+43+632+833+2n3n-1,3Tn=23+432+633+834+2n3n,相减得,-2Tn=2(1+3+32+33+3n-1)-2n3n=2-2n3n=3n-1-2n3n,Tn=.